Berapa interval konvergensi dari sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Dan berapa jumlah dalam x = 3?

$Berapa interval konvergensi dari sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Dan berapa jumlah dalam x = 3?$

Menjawab:

# - oo, -4 "U" 5, oo "adalah interval konvergensi untuk x" #

# "x = 3 tidak dalam interval konvergensi sehingga jumlah untuk x = 3 adalah" oo #

Penjelasan:

# "Perlakukan jumlah tersebut seperti deret geometri dengan mengganti" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Kalau begitu kita punya" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "untuk" | z | <1 #

# "Jadi interval konvergensi adalah" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ATAU" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatif)" #

# "Kasus positif:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 dan x> 5 #

# => x> 5 #

# "Kasus negatif:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 dan x <5 #

# => x <-4 #

# "Bagian kedua:" x = 3 => z = 2> 1 => "jumlah adalah" oo #

Jumlah mainan di dalam lemari berbeda-beda berbanding terbalik dengan jumlah anak di dalam ruangan. Jika ada 28 mainan di dalam lemari ketika ada 4 anak di dalam ruangan, berapa banyak mainan di dalam lemari ketika 7 anak di dalam ruangan?

16 mainan propto 1 / text {children} => t = K * 1 / c t = 28, c = 4 => K = tc = 112 t =?, C = 7 => t = 112/7

Berapa interval konvergensi sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Lihat di bawah. Menggunakan identitas polinomial (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) yang kita miliki untuk abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) kemudian, untuk x ne k pi, k dalam ZZ kita memiliki jumlah_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Berapakah interval konvergensi dari sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Kita dapat menghitung jumlah itu {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n adalah deret geometri dengan rasio r = 1 / (x (1-x)). Sekarang kita tahu bahwa deret geometri bertemu ketika nilai absolut dari rasio lebih kecil dari 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Jadi kita harus menyelesaikan ketidaksetaraan ini: 1 / (x (1-x)) <1 dan 1 / (x (1-x))> -1 Mari kita mulai dengan yang pertama: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa pembilang selalu positif dan penyebutnya negatif d