Buktikan sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Menjawab:

Dalam Penjelasan

Penjelasan:

Pada bidang koordinat normal, kami memiliki koordinat seperti (1,2) dan (3,4) dan hal-hal seperti itu. Kita dapat mengekspresikan kembali koordinat ini dalam hal radius dan sudut. Jadi, jika kita memiliki poin (a, b) itu berarti kita pergi unit ke kanan, b unit ke atas dan #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # sebagai jarak antara titik asal dan titik (a, b). saya akan hubungi #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Jadi kita punya # re ^ arctan (b / a) #

Sekarang untuk menyelesaikan bukti ini, mari kita ingat formula.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Fungsi arc tan memberi saya sudut yang juga theta.

Jadi kita memiliki persamaan berikut:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + dosa (arctan (b / a)) #

Sekarang mari kita menggambar segitiga siku-siku.

Arktan dari (b / a) memberi tahu saya bahwa b adalah sisi yang berlawanan dan a adalah sisi yang berdekatan. Jadi jika saya ingin cos dari arctan (b / a), kita menggunakan teorema Pythagoras untuk menemukan sisi miring. Sisi miringnya adalah #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Jadi cos (arctan (b / a)) = berdekatan atas sisi miring = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Bagian terbaik tentang ini adalah kenyataan bahwa prinsip yang sama berlaku untuk sinus. Jadi dosa (arctan (b / a)) = berlawanan dengan sisi miring = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Jadi sekarang kita dapat mengekspresikan kembali jawaban kita sebagai berikut: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Tapi ingat #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # jadi sekarang kita punya: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. R dibatalkan, dan Anda memiliki yang berikut: # a + bi #

Karena itu, # (re ^ ((arctan (b / a))))) = a + bi #