Apa antiderivatif 1 / sinx?

Menjawab:

ini # -ln abs (cscx + cot x) #

Penjelasan:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

Pembilangnya adalah kebalikan ('negatif') dari turunan dari denomoinator.

Jadi antiderivatif minus logaritma natural dari penyebut.

# -ln abs (cscx + cot x) #.

(Jika Anda sudah mempelajari teknik substitusi, kita bisa menggunakan #u = cscx + cot x #jadi #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. Ekspresi menjadi # -1 / u du #.)

Anda dapat memverifikasi jawaban ini dengan membedakan.

Pendekatan yang berbeda untuk itu

# int1 / sinxdx # #=#

# intsinx / sin ^ 2xdx #

# intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Pengganti

# cosx = u #

# -sinxdx = du #

# sinxdx = -du #

#=# # -int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1)) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

Kita butuh #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

Karena itu, # -int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2int (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2int (((u + 1) ') / (u + 1) - ((u-1)') / (u-1)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (c, c ') ##di## RR #

Apa antiderivatif fungsi jarak?

Fungsi jarak adalah: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Mari kita memanipulasi ini. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Karena antiderivative pada dasarnya adalah integral tak terbatas, ini menjadi jumlah tak terbatas dari dx kecil tak terhingga: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx yang kebetulan merupakan rumus untuk panjang lengkung dari fungsi apa pun yang dapat Anda kelola secara terintegrasi setelah manipulasi.

Apa antiderivatif konstanta? + Contoh

Saya merasa lebih mudah untuk memikirkan ini dengan melihat turunannya terlebih dahulu. Maksud saya: apa, setelah dibedakan, akan menghasilkan konstanta? Tentu saja, variabel tingkat pertama. Misalnya, jika diferensiasi Anda menghasilkan f '(x) = 5, terbukti bahwa antiderivatifnya adalah F (x) = 5x Jadi, antiderivatif konstanta adalah kali variabel yang dipermasalahkan (baik itu x, y, dll. .) Kita dapat mengatakannya secara matematis: intcdx <=> cx Perhatikan bahwa c adalah mutiplying 1 pada integral: intcolor (hijau) (1) * cdx <=> cx Itu berarti variabel derajat pertama dibedakan: f (x ) = x ^ warna (hijau

Bagaimana Anda menemukan antiderivatif dari e ^ (sinx) * cosx?

Gunakan substitusi u untuk menemukan inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Perhatikan bahwa turunan dari sinx adalah cosx, dan karena ini muncul dalam integral yang sama, masalah ini diselesaikan dengan substitusi u. Biarkan u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ sinx * cosxdx menjadi: inte ^ udu Integral ini mengevaluasi ke e ^ u + C (karena turunan dari e ^ u adalah e ^ kamu). Tapi u = sinx, jadi: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C