Segitiga memiliki simpul A (a, b), C (c, d), dan O (0, 0). Apa persamaan dan luas lingkaran terbatas segitiga?

Menjawab:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # dimana

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Penjelasan:

Saya menggeneralisasi pertanyaan; mari kita lihat bagaimana kelanjutannya. Saya meninggalkan satu titik di titik asal, yang membuatnya sedikit kurang berantakan, dan segitiga sembarang mudah diterjemahkan.

Segitiga tentu saja sama sekali tidak penting untuk masalah ini. Lingkaran terbatas adalah lingkaran melalui tiga titik, yang merupakan tiga simpul. Segitiga itu membuat penampilan yang mengejutkan dalam solusinya.

Beberapa terminologi: lingkaran yang dibatasi disebut segitiga circumcircle dan pusatnya segitiga penyunat.

Persamaan umum untuk lingkaran dengan pusat # (p, q) # dan radius kuadrat # s # aku s

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

dan luas lingkaran adalah #A = pi s. #

Kami memiliki tiga yang tidak diketahui # p, q, s # dan kami tahu tiga poin, jadi kami mendapatkan tiga persamaan:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # karena asalnya ada di lingkaran.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Mari kita pecahkan persamaan simultan. Mari kita mengubahnya menjadi dua persamaan linier dengan memperluas dan mengurangi pasangan, yang berarti kehilangan # p ^ 2 + q ^ 2 # di sebelah kiri dan # s # di kanan.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Mengurangi, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Demikian pula, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Itu dua persamaan dalam dua yang tidak diketahui. # AX = K # punya solusi # X = A ^ {- 1} K. # Saya ingat dua demi dua invers matriks yang saya tidak tahu cara memformat, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Bagi kami itu artinya

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

dan radius kuadrat dari

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

jadi area # pi # kali jumlah itu.

Kita dapat melihat ekspresi menjadi lebih simetris jika kita mempertimbangkan apa yang terjadi untuk segitiga sembarang # (A, B), (C, D), (E, F). # Kami mengatur # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # tapi aku tidak akan menyelesaikannya sekarang.

Saya akan mencatat pembilang dari # s # adalah produk dari tiga panjang kuadrat dari sisi segitiga, dan penyebut # s # adalah enam belas kali luas kuadrat dari segitiga.

Dalam Rasional Trigonometri panjang kuadrat disebut kuadran dan enam belas kali daerah kuadrat disebut quadrea. Kami menemukan kuadran dari jari-jari lingkaran adalah produk dari kuadran dari segitiga dibagi dengan quadrea-nya.

Jika kita hanya membutuhkan jari-jari atau area lingkaran, kita dapat meringkas hasilnya di sini sebagai:

Jari-jari kuadrat dari lingkaran adalah produk dari panjang kuadrat dari segitiga dibagi enam belas kali luas kuadrat segitiga.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #