Bagaimana Anda membuktikan: secx - cosx = sinx tanx?

Menggunakan definisi # secx # dan # tanx #, beserta identitasnya

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, kita punya

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Menjawab:

Konversi semua istilah menjadi # sinx # dan # cosx #.

Kedua menerapkan aturan jumlah fraksi untuk LHS.

Terakhir kami menerapkan identitas Pythagoras: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Penjelasan:

Pertama dalam pertanyaan bentuk-bentuk ini adalah ide yang baik untuk mengubah semua istilah menjadi sinus dan cosinus: jadi, ganti #tan x # dengan #sin x / cos x #

dan ganti #sec x # dengan # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # menjadi # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # menjadi #sin x sin x / cos x # atau # sin ^ 2 x / cos x #.

Sekarang kita menerapkan aturan jumlah fraksi ke LHS, membuat basis bersama (seperti halnya fraksi angka #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Terakhir kami menerapkan identitas Pythagoras: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (salah satu identitas paling berguna untuk jenis masalah ini).

Dengan mengatur ulang itu kita dapatkan # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Kami mengganti # 1- cos ^ 2 x # di LHS dengan # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # yang sama dengan RHS yang dimodifikasi.

Jadi LHS = RHS Q.E.D.

Perhatikan pola umum untuk memasukkan berbagai hal ke dalam bentuk sinus dan kosinus, menggunakan aturan pecahan dan identitas Pythagoras, sering kali memecahkan jenis-jenis pertanyaan ini.

Jika diinginkan, kami juga dapat memodifikasi sisi kanan agar sesuai dengan sisi kiri.

Kita harus menulis # sinxtanx # istilah dari # sinx # dan # cosx #, menggunakan identitas #color (merah) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Sekarang, kami menggunakan identitas Pythagoras, yaitu # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Kita dapat memodifikasi ini untuk menyelesaikannya # sin ^ 2x #jadi: #color (red) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Sekarang, cukup bagi pembilangnya:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Gunakan identitas timbal balik #color (red) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Menjawab:

Ini sangat sederhana …

Penjelasan:

Menggunakan identitas # tanx = sinx / cosx #, gandakan # sinx # ke identitas untuk mendapatkan:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Lalu, gandakan # cosx # melalui persamaan untuk menghasilkan:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Mengingat bahwa # secx # adalah kebalikan dari # cosx #.

Akhirnya, menggunakan identitas trigonometri # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, jawaban akhirnya adalah:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #