Air yang bocor ke lantai membentuk kolam bundar. Jari-jari kolam meningkat pada kecepatan 4 cm / menit. Seberapa cepat area kolam meningkat ketika radius 5 cm?

Menjawab:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Penjelasan:

Pertama, kita harus mulai dengan persamaan yang kita tahu terkait area lingkaran, kolam, dan jari-jarinya:

# A = pir ^ 2 #

Namun, kami ingin melihat seberapa cepat area kolam meningkat, yang terdengar sangat mirip tingkat … yang terdengar sangat mirip turunan.

Jika kita mengambil turunan dari # A = pir ^ 2 # sehubungan dengan waktu, # t #, kita melihat bahwa:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Jangan lupa bahwa aturan rantai berlaku di sisi kanan, dengan # r ^ 2 #--ini mirip dengan diferensiasi implisit.)

Jadi, kami ingin menentukan # (dA) / dt #. Pertanyaan itu memberi tahu kami # (dr) / dt = 4 # ketika dikatakan "jari-jari kolam meningkat pada tingkat #4# cm / menit, "dan kami juga tahu bahwa kami ingin menemukannya # (dA) / dt # kapan # r = 5 #. Memasukkan nilai-nilai ini, kita melihat bahwa:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Untuk menjelaskannya, kami katakan bahwa:

Area kolam meningkat pada tingkat # bb40pi # cm# "" ^ bb2 #/ menit saat jari-jari lingkaran berada # bb5 # cm.

Kebun binatang memiliki dua tangki air yang bocor. Satu tangki air berisi 12 gal air dan bocor dengan laju konstan 3 g / jam. Yang lain mengandung 20 gal air dan bocor dengan laju konstan 5 g / jam. Kapan kedua tangki memiliki jumlah yang sama?

4 jam. Tangki pertama memiliki 12g dan kehilangan 3g / jam Tangki kedua memiliki 20g dan kehilangan 5g / jam Jika kita menyatakan waktu dengan t, kita dapat menuliskan ini sebagai persamaan: 12-3t = 20-5t Memecahkan untuk t 12-3t = 20-5t => 2t = 8 => t = 4: 4 jam. Pada saat ini kedua tank akan dikosongkan secara bersamaan.

Air bocor keluar dari tangki kerucut terbalik pada laju 10.000 cm3 / menit pada saat yang sama air dipompa ke dalam tangki dengan laju konstan Jika tangki memiliki ketinggian 6m dan diameter di atas adalah 4 m dan jika ketinggian air naik pada kecepatan 20 cm / menit ketika ketinggian air adalah 2m, bagaimana Anda menemukan laju di mana air dipompa ke dalam tangki?

Misalkan V adalah volume air dalam tangki, dalam cm ^ 3; biarkan h menjadi kedalaman / tinggi air, dalam cm; dan biarkan r menjadi jari-jari permukaan air (di atas), dalam cm. Karena tangki adalah kerucut terbalik, begitu pula massa airnya. Karena tangki memiliki ketinggian 6 m dan jari-jari di atas 2 m, segitiga yang sama menyiratkan bahwa frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 sehingga h = 3r. Volume kerucut air terbalik kemudian V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Sekarang bedakan kedua belah pihak sehubungan dengan waktu t (dalam menit) untuk mendapatkan frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (Aturan Rantai

Ketika kolam rendam Jane masih baru, itu bisa diisi dalam 6 menit, dengan air dari selang. Sekarang kolam memiliki beberapa kebocoran, hanya perlu 8 menit, untuk semua air bocor keluar dari kolam penuh. Berapa lama untuk mengisi kolam yang bocor?

24 menit Jika volume total kolam adalah x unit, maka setiap menit x / 6 unit air dimasukkan ke dalam kolam. Demikian pula, x / 8 unit air bocor dari kolam setiap menit. Karenanya, (+) x / 6 - x / 8 = x / 24 unit air diisi per menit. Akibatnya, kolam membutuhkan waktu 24 menit untuk diisi.