Pecahkan kapak ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Menjawab:

Sketsa cepat …

Penjelasan:

Diberikan:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # dengan #a! = 0 #

Ini menjadi berantakan cukup cepat, jadi saya hanya akan memberikan sketsa satu metode …

Kalikan dengan # 256a ^ 3 # dan gantikan #t = (4ax + b) # untuk mendapatkan quartic monic yang tertekan dalam bentuk:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Perhatikan bahwa karena ini tidak memiliki istilah dalam # t ^ 3 #, harus memperhitungkan bentuk:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (putih) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Menyamakan koefisien dan menyusun ulang sedikit, kami memiliki:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Jadi kami menemukan:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (white) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (white) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Mengalikan, mengalikan dengan # A ^ 2 # dan menata ulang sedikit, ini menjadi:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Ini "kubik dalam # A ^ 2 #"Paling tidak memiliki satu akar nyata. Idealnya memiliki akar nyata positif yang menghasilkan dua kemungkinan nilai nyata untuk #SEBUAH#. Apapun, setiap akar kubik akan melakukan.

Diberi nilai #SEBUAH#, kita punya:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Karenanya kita mendapatkan dua kuadrat untuk dipecahkan.