Jika memungkinkan, temukan fungsi f sedemikian rupa sehingga grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Menjawab:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Penjelasan:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Sekarang ambil" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Lalu kita punya satu dan f yang sama, yang memenuhi syarat." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Menjawab:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3t ^ 2 + y ^ 6 + c #

Penjelasan:

Kami memiliki notasi yang buruk dalam pertanyaan karena operator del (atau operator gradien) adalah operator diferensial vektor, Kami mencari fungsi #f (x, y) # seperti yang:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Dimana #bb (grad) # adalah operator gradien:

# "grad" f = bb (grad) f = (parsial f) / (parsial x) bb (ul hat i) + (parsial f) / (parsial x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Dari mana kami mengharuskan itu:

# f_x = (sebagian f) / (sebagian x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2t ^ 2 # # ….. SEBUAH

# f_y = (sebagian f) / (sebagian y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Jika kita mengintegrasikan A wrt # x #, saat merawat # y # sebagai konstanta maka kita dapatkan:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Jika kita mengintegrasikan B wrt # y #, saat merawat # x # sebagai konstanta maka kita dapatkan:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3t ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Dimana #u (y) # adalah fungsi sewenang - wenang dari # y # sendirian, dan #v (x) # adalah fungsi sewenang - wenang dari # x # sendirian.

Kami jelas membutuhkan fungsi-fungsi ini untuk identik, sehingga kami memiliki:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Jadi kami memilih #v (x) = x ^ 4 # dan #u (y) = y ^ 6 #, yang memberi kami solusi:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3t ^ 2 + y ^ 6 + c #

Kami dapat dengan mudah mengkonfirmasi solusinya dengan menghitung turunan parsial:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2t ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED