Misalkan P adalah titik mana saja pada konic r = 12 / (3-sin x). Biarkan F¹ dan F² menjadi titik (0, 0 °) dan (3, 90 °) masing-masing. Tunjukkan bahwa PF¹ dan PF² = 9?

Menjawab:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Kami diminta untuk menunjukkan # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, yaitu # P # menyapu elips dengan fokus # F_1 # dan # F_2. # Lihat buktinya di bawah ini.

Penjelasan:

Mari kita perbaiki apa yang akan saya duga adalah salah ketik dan katakan #P (r, theta) # memuaskan

#r = 12 / {3-sin theta} #

Kisaran sinus adalah #pm 1 # jadi kami menyimpulkan # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

Dalam koordinat persegi panjang, # P = (r cos theta, r sin theta) # dan # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # karena kita sudah tahu # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #