Misalkan A (x_a, y_a) dan B (x_b, y_b) menjadi dua titik dalam bidang dan misalkan P (x, y) adalah titik yang membagi bilah (AB) dalam rasio k: 1, di mana k> 0. Tunjukkan bahwa x = (x_a + kx_b) / (1 + k) dan y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Menjawab:

Lihat bukti di bawah ini

Penjelasan:

Mari kita mulai dengan menghitung #vec (AB) # dan #vec (AP) #

Kami mulai dengan # x #

#vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k #

# (x_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k #

Mengalikan dan mengatur ulang

# (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) #

Memecahkan untuk # x #

# (k + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a #

# (k + 1) x = x_a + kx_b #

# x = (x_a + kx_b) / (k + 1) #

Begitu pula dengan # y #

# (y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k #

# ky_b-ky_a = y (k + 1) - (k + 1) y_a #

# (k + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a #

# y = (y_a + ky_b) / (k + 1) #

Rasio umum dari progresi ggeometrik adalah r istilah pertama dari progresi adalah (r ^ 2-3r + 2) dan jumlah tak terhingga adalah S Tunjukkan bahwa S = 2-r (Saya punya) Temukan sekumpulan nilai yang mungkin yang S dapat mengambil?

S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r Sejak | r | <1 kita dapatkan 1 <S <3 # Kita memiliki S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k Jumlah umum dari deret geometri tak terhingga adalah sum_ {k = 0} ^ {infty} ar ^ k = a / {1-r} Dalam kasus kami, S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2) )} / {1-r} = 2-r Seri geometris hanya bertemu ketika | r | <1, jadi kita mendapatkan 1 <S <3 #

Misalkan A menjadi ( 3,5) dan B menjadi (5, 10)). Temukan: (1) panjang bar segmen (AB) (2) titik tengah P bar (AB) (3) titik Q yang membagi bar (AB) dalam rasio 2: 5?

(1) panjang bilah segmen (AB) adalah 17 (2) Titik tengah bilah (AB) adalah (1, -7 1/2) (3) Koordinat titik Q yang membagi bilah (AB) di rasio 2: 5 adalah (-5 / 7,5 / 7) Jika kita memiliki dua titik A (x_1, y_1) dan B (x_2, y_2), panjang bar (AB) yaitu jarak di antara mereka diberikan oleh sqrt (( x_2-x_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) dan koordinat titik P yang membagi bilah segmen (AB) yang menggabungkan kedua titik ini dalam rasio l: m adalah ((lx_2 + mx_1) / (l + m), (lx_2 + mx_1) / (l + m)) dan sebagai segmen titik tengah yang dibagi dalam rasio 1: 1, koordinatnya adalah ((x_2 + x_1) / 2, (x_2 + x_1) / 2) Seperti yang kita mili

Misalkan P adalah titik mana saja pada konic r = 12 / (3-sin x). Biarkan F¹ dan F² menjadi titik (0, 0 °) dan (3, 90 °) masing-masing. Tunjukkan bahwa PF¹ dan PF² = 9?

R = 12 / {3-sin theta} Kami diminta untuk menunjukkan | PF_1 | + | PF_2 | = 9, mis. P menyapu elips dengan fokus F_1 dan F_2. Lihat buktinya di bawah ini. # Mari kita perbaiki yang akan saya tebak sebagai salah ketik dan katakan P (r, theta) memenuhi r = 12 / {3-sin theta} Kisaran sinus adalah pm 1 jadi kami menyimpulkan 4 le r le 6. 3r - r sin theta = 12 | PF_1 | = | P - 0 | = r Dalam koordinat persegi panjang, P = (r cos theta, r sin theta) dan F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 thet