Bagaimana Anda menemukan turunan dari tan (x - y) = x?

Menjawab:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Penjelasan:

Saya berasumsi Anda ingin mencari # (dy) / (dx) #. Untuk ini pertama-tama kita perlu ekspresi untuk # y # istilah dari # x #. Kami mencatat bahwa masalah ini memiliki berbagai solusi #tan (x) # adalah fungsi periodik, #tan (x-y) = x # akan memiliki banyak solusi. Namun, karena kita tahu periode fungsi tangen (# pi #), kita dapat melakukan hal berikut: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #dimana #tan ^ (- 1) # adalah fungsi kebalikan dari nilai pemberian tangen antara # -pi / 2 # dan # pi / 2 # dan faktornya # npi # telah ditambahkan ke akun periodisitas garis singgung.

Ini memberi kita # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #oleh karena itu # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, perhatikan bahwa faktornya # npi # telah hilang. Sekarang kita perlu menemukannya # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. Ini cukup rumit, tetapi bisa dilakukan dengan menggunakan teorema fungsi terbalik.

Pengaturan # u = tan ^ (- 1) x #, kita punya # x = tanu = sinu / cosu #jadi # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, menggunakan aturan hasil bagi dan beberapa identitas trigonometri. Menggunakan teorema fungsi terbalik (yang menyatakan bahwa jika # (dx) / (du) # kontinu dan bukan nol, yang kita miliki # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), kita punya # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Sekarang kita perlu mengekspresikan # cos ^ 2u # dalam hal x.

Untuk melakukan ini, kami menggunakan beberapa trigonometri. Diberi segitiga siku-siku dengan sisi # a, b, c # dimana # c # adalah sisi miring dan # a, b # terhubung ke sudut kanan. Jika # u # adalah sudut di mana sisi # c # memotong sisi #Sebuah#, kita punya # x = tanu = b / a #. Dengan simbol # a, b, c # dalam persamaan kita menunjukkan de length dari edge ini. # cosu = a / c # dan menggunakan teorema Pythagoras, kita temukan # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Ini memberi # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #jadi # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Sejak # u = tan ^ (- 1) x #, kita bisa mengganti ini menjadi persamaan untuk # (dy) / (dx) # dan menemukan # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.