Bagaimana Anda mengubah r = 1 / (4 - costheta) menjadi bentuk cartesian?

Menjawab:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Penjelasan:

Hei, Socrates: Apakah benar-benar perlu untuk memberi tahu kami ini ditanyakan 9 menit yang lalu? Saya tidak suka dibohongi. Beritahu kami itu ditanyakan dua tahun lalu dan belum ada yang bisa melakukannya. Juga ada apa dengan pertanyaan yang diajukan secara mencurigakan yang diajukan dari berbagai tempat? Belum lagi Santa Cruz, Amerika Serikat? Hampir pasti ada lebih dari satu, meskipun saya mendengar yang bagus di California. Kredibilitas dan reputasi penting, terutama di situs pekerjaan rumah. Jangan menyesatkan orang. Kata-kata kasar.

Saat mengkonversi persamaan dari kutub ke koordinat persegi panjang, brute force menjadi substitusi kutub

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (y "/," x) quad #

jarang pendekatan terbaik. (Saya sengaja menunjukkan empat kuadran terbalik tangen di sini, tapi jangan dialihkan.)

Idealnya kami ingin menggunakan pengganti kutub untuk persegi panjang, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK, mari kita lihat pertanyaannya.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Persamaan kutub ini umumnya memungkinkan untuk negatif # r #, tapi di sini kami yakin # r # selalu positif.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Saya pikir ini elips, yang tidak terlalu penting, tetapi memberi kita gambaran seperti apa bentuk persegi panjang yang kita harapkan. Kami ingin membidik sesuatu tanpa akar kuadrat atau arctangents # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # memiliki akar kuadrat, tetapi #rcos theta = x # tidak, jadi kami berkembang.

# 4r - rcos theta = 1 #

Sekarang kita ganti saja; kami akan melakukannya dalam beberapa langkah.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Mari kita mulai sekarang. Kita tahu #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Ini adalah elips yang terlihat bundar. (Konstanta lebih kecil dari #4# dalam aslinya akan memberikan elips yang lebih eksentrik.) Kita bisa menyelesaikan kuadrat untuk meletakkannya dalam bentuk standar, tapi mari kita tinggalkan di sini.