# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # berbentuk # y ^ 2-2tahun + 1 # dimana #y = x ^ 3 #.
Rumus kuadratik ini dalam # y # faktor-faktor sebagai berikut:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Begitu # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Begitu # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# x ^ 2 + x + 1 # tidak memiliki faktor linier dengan koefisien nyata. Untuk memeriksa pemberitahuan ini bahwa itu adalah dari formulir # ax ^ 2 + bx + c #, yang memiliki diskriminasi:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Menjadi negatif, persamaannya # x ^ 2 + x + 1 = 0 # tidak memiliki akar nyata.
Salah satu cara untuk memeriksa jawabannya adalah dengan mengganti nilai # x # itu bukan root ke kedua sisi dan lihat apakah kita mendapatkan hasil yang sama:
Mencoba # x = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Membandingkan:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Itu berhasil!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # cukup mudah untuk faktor, karena itu adalah kuadrat sempurna. Bagaimana saya tahu ini? Itu adalah trinomial dalam bentuk # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, dan semua trinomial dalam bentuk itu adalah kotak yang sempurna.
Trinomial ini adalah kuadrat sempurna # (x ^ 3 - 1) #. Untuk memeriksa pekerjaan saya, saya akan bekerja mundur:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Jadi, trinomial ini memiliki faktor #1#, # x ^ 3 - 1 #, dan # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Namun, seperti yang telah ditunjukkan kepada saya, # (x ^ 3 - 1) # juga memiliki faktor. Karena itu adalah binomial dari bentuk # a ^ 3 - b ^ 3 #, dapat juga ditulis sebagai # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Begitu, # (x ^ 3 - 1) # faktor menjadi # (x - 1) # dan # (x ^ 2 + x + 1) #, yang keduanya prima.
Faktor-faktor dari # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # adalah:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Lebih khusus lagi, faktorisasi PRIME dari # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # aku s:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
