Selesaikan untuk x dalam RR persamaan sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Menjawab:

#x dalam 5, 10 #

Penjelasan:

Membiarkan # u = x-1 #. Kita kemudian dapat menulis ulang sisi kiri persamaan sebagai

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Perhatikan keberadaan #sqrt (u) # dalam persamaan dan bahwa kami hanya mencari nilai nyata, jadi kami memiliki batasan #u> = 0 #. Dengan itu, kami sekarang akan mempertimbangkan semua kasus yang tersisa:

Kasus 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Demikian # u = 4 # adalah satu-satunya solusi dalam interval tersebut #0, 4#

Kasus 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Karena ini adalah tautologi, setiap nilai dalam #4, 9# adalah solusinya.

Kasus 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Demikian #u = 9 # adalah satu-satunya solusi dalam interval tersebut # 9, oo) #

Secara bersama, kita miliki #4, 9# sebagai solusi yang ditetapkan untuk nilai riil # u #. Mengganti di #x = u + 1 #, kami tiba di set solusi akhir #x dalam 5, 10 #

Melihat grafik sisi kiri, ini cocok dengan apa yang kita harapkan: