Menjawab:
Lihat penjelasannya
Penjelasan:
Membiarkan # a = p / q # dimana # p # dan # q # adalah bilangan bulat positif.
# 1ltp / q # karena itu # qltp #. # p / qlt2 # karena itu # plt2q #. Karena itu # qltplt2q #.
# a + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Topik lanjutan lainnya di depan ~~
* Ini mengasumsikan sebagai # p # meningkat, # (p + q) ^ 2 / (pq) # meningkat. Ini dapat diverifikasi secara intuitif, dengan melihat grafik # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # di #x in (q, 2q) # untuk berbagai nilai positif # q #, atau dengan proses kalkulus di bawah ini.
~
# del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
Di #p dalam (q, 2q) #:
Sejak # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # demikian # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
Sejak #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
Sejak # p ^ 2-q ^ 2gt0 # dan # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Sejak # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) # dan # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
Karena itu # (p + q) ^ 2 / (pq) # meningkat untuk konstan # q # dan # qltplt2q # karena # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # positif.
~~~~
Menjawab:
Dalam uraian
Penjelasan:
Berikut kendala (1):
# 1 <a <2 #
Kendala (2):
Dengan teorema timbal balik, # 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
Dalam kendala 1 tambahkan 1 di kedua sisi, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#color (red) (a + 1 <3) #
Dalam batasan yang sama tambahkan 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2) #
Sekali lagi perhatikan bahwa, #2 <2+1/2#
Begitu # a + 1/2 # harus kurang dari 2
#color (red) (a + 1/2) <2 #
Karenanya dalam kendala 2, # 1> a> 1/2 #
Tambahkan di kedua sisi, # 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Kami melakukannya karena # a + 1 <3 #
Begitu # a + 1 / a # harus kurang dari 3.
Lagi # a + 1/2 <2 # tetapi dalam batasan ini # a + 1 / a> a + 1/2 #
Begitu, # a + 1 / a # harus lebih besar dari 2.
Karenanya, # 1> 1 / a> 1 2 #
Dengan menambahkan di kedua sisi, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # terbukti
