Jika f (x) = x tan ^ -1 maka f (1) adalah apa?

Menjawab:

# f (1) # dimana #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Penjelasan:

Saya akan menganggap pertanyaannya adalah #f (1) # dimana #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Biasanya saya akan mengobati # arctan # sebagai multinilai. Tapi di sini dengan notasi fungsi eksplisit #f (x) # Saya akan mengatakan kita ingin nilai pokok dari garis singgung terbalik. Sudut dengan tangen 1 di kuadran pertama adalah # 45 ^ circ # atau # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Itu akhirnya. Tapi mari kita kesampingkan pertanyaan itu, dan fokus pada apa #arctan t # sangat berarti.

Saya biasanya memikirkan #tan ^ -1 (t) # atau setara (dan saya pikir notasi lebih baik) #arctan (t) # sebagai ekspresi multinilai. Arctan "fungsi" sebenarnya bukan fungsi, karena itu adalah kebalikan dari sesuatu yang periodik, yang tidak dapat benar-benar memiliki invers atas seluruh domainnya.

Ini sangat membingungkan bagi siswa dan guru. Tiba-tiba kita memiliki hal-hal yang terlihat seperti fungsi yang tidak benar-benar berfungsi. Mereka agak menyelinap di bawah radar. Diperlukan aturan baru untuk menghadapinya, tetapi tidak pernah secara eksplisit dinyatakan. Matematika mulai menjadi kabur ketika seharusnya tidak.

# x = arctan t # dianggap sebagai solusi terbaik untuk #tan x = t. # Ada jumlah yang tak terhingga jumlahnya, satu per periode. Tangent memiliki periode # pi # jadi solusinya # pi # terpisah, yang mana #pi k # berasal dari, integer # k #.

Saya biasanya menulis nilai pokok dari garis singgung terbalik sebagai Arctan, dengan modal A. Sayangnya Sokrates terus "mengoreksi" itu. Saya akan fudge di sini:

#t = tan x # punya solusi

#x = arctan t = teks {Arc} teks {tan} (t) + pi k quad # untuk integer # k #.