Bagaimana Anda menemukan area jajaran genjang dengan simpul?

Menjawab:

Untuk jajaran genjang # ABCD # daerah itu

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Penjelasan:

Mari kita asumsikan jajaran genjang kita # ABCD # didefinisikan oleh koordinat empat simpulnya - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Untuk menentukan area jajaran genjang kami, kami membutuhkan panjang alasnya # | AB | # dan ketinggian # | DH | # dari vertex # D # ke titik # H # di sisi # AB # (itu adalah, #DH_ | _AB #).

Pertama-tama, untuk menyederhanakan tugas, mari kita pindahkan ke posisi saat simpulnya #SEBUAH# bertepatan dengan asal mula koordinat. Area akan sama, tetapi perhitungan akan lebih mudah.

Jadi, kami akan melakukan transformasi koordinat berikut:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Lalu# U, V #) koordinat semua simpul adalah:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Paralelogram kami sekarang ditentukan oleh dua vektor:

# p = (U_B, V_B) # dan # q = (U_D, V_D) #

Tentukan panjang dasar # AB # sebagai panjang vektor # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Panjang ketinggian # | DH | # dapat dinyatakan sebagai # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Panjangnya #IKLAN# adalah panjang vektor # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Sudut #/_BURUK# dapat ditentukan dengan menggunakan dua ekspresi untuk produk skalar (titik) vektor # p # dan # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

dari mana

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Sekarang kita tahu semua komponen untuk menghitung area:

Mendasarkan # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Ketinggian # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Area adalah produk mereka:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Dalam hal koordinat asli, tampilannya seperti ini:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Menjawab:

diskusi lain

Penjelasan:

Bukti geometris

Mempertimbangkan angka tersebut

kita dapat dengan mudah menetapkan rumus untuk penghitungan luas jajaran genjang ABCD, ketika tiga simpul (katakanlah A, B, D) diketahui.

Karena BD diagonal membagi dua jajaran genjang menjadi dua segitiga kongruen.

Area jajaran genjang ABCD

= 2 luas segitiga ABD

= 2 area trapesium BAPQ + area trap BQRD - area trap DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + batalkan (Y_BX_B) -batal (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + batalkan (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-batalkan (Y_DX_D) + batalkan (Y_AX_A) + batalkan (Y_AX_A) + batalkan

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Rumus ini akan memberikan area jajaran genjang.

Bukti mempertimbangkan vektor

Itu juga bisa ditetapkan mengingat #vec (AB) # dan# vec (AD) #

Sekarang

Vektor posisi titik A w.r, t asal O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Vektor posisi titik B w.r, t asal O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Vektor posisi titik D w.r, t asal O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Sekarang

Area Parallelogram ABCD

# = Base (AD) * Tinggi (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Lagi

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Area = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + batalkan (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-batalkan (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Jadi kita punya formula yang sama