Bagaimana Anda membedakan y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Menjawab:

Gunakan aturan produk dan negosiasi dan lakukan banyak aljabar yang membosankan untuk mendapatkannya # dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Penjelasan:

Kita akan mulai di sisi kiri:

# y ^ 2 / x #

Untuk mengambil turunan dari ini, kita perlu menggunakan aturan hasil bagi:

# d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

Kita punya # u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # dan # v = x-> v '= 1 #jadi:

# d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Sekarang untuk sisi kanan:

# x ^ 3-3yx ^ 2 #

Kita bisa menggunakan aturan penjumlahan dan perkalian dari aturan konstan untuk memecah ini menjadi:

# d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) #

Yang kedua akan membutuhkan aturan produk:

# d / dx (uv) = u'v + uv '#

Dengan # u = y-> u '= dy / dx # dan # v = x ^ 2-> v '= 2x #. Begitu:

# d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Masalah kita sekarang terbaca:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Kita bisa menambahkan # x ^ 2dy / dx # ke kedua sisi dan faktor keluar a # dy / dx # untuk mengisolasinya:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Saya harap Anda menyukai aljabar, karena ini adalah salah satu persamaan buruk yang perlu disederhanakan:

# dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #