Buktikan bahwa daerah yang diarsir ungu sama dengan daerah incircle dari segitiga sama sisi (lingkaran bergaris kuning)?

Menjawab:

Penjelasan:

Area incircle adalah # pir ^ 2 #.

Memperhatikan segitiga siku-siku dengan sisi miring # R # dan kaki # r # di dasar segitiga sama sisi, melalui trigonometri atau sifat #30 -60 -90 # segitiga siku-siku kita bisa menjalin hubungan itu # R = 2r #.

Perhatikan bahwa sudut berlawanan # r # aku s #30 # sejak segitiga sama sisi #60 # sudut dibelah dua.

Segitiga yang sama ini dapat diselesaikan melalui teorema Pythagoras untuk menunjukkan bahwa setengah panjang sisi dari segitiga sama sisi adalah #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Sekarang memeriksa setengah dari segitiga sama sisi sebagai segitiga siku-siku, kita melihat tingginya # h # dari segitiga sama sisi dapat diselesaikan dalam hal # r # menggunakan hubungan #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Sejak #tan (60) = sqrt3 #, ini menjadi # h / (rsqrt3) = sqrt3 # begitu # h = 3r #.

Luas segitiga sama sisi itu # 1 / 2bh #, dan dasarnya adalah # 2rsqrt3 # dan tingginya # 3r #. Dengan demikian, wilayahnya adalah # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Luas wilayah yang diarsir lebih kecil sama dengan sepertiga luas segitiga sama sisi minus incircle, atau # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # yang setara dengan # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Luas lingkaran yang lebih besar adalah # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Luas wilayah yang diarsir lebih besar adalah sepertiga luas lingkaran yang lebih besar dikurangi luas segitiga sama sisi, atau # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # yang disederhanakan menjadi # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Luas total area yang diarsir adalah # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, Yang setara dengan area incircle.

Menjawab:

Penjelasan:

Untuk segitiga sama sisi pusat gravitasi, pusat lingkaran dan ortokenter bertepatan.

Jadi Radius cicumcircle (R) dan jari-jari incircle (r) akan memiliki hubungan berikut

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Sekarang dari gambar itu jelas bahwa area wilayah teduh ungu BESAR# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

Dan area wilayah teduh ungu KECIL# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

dimana #Delta # mewakili luas segitiga sama sisi.

Begitu

#color (ungu) ("TOTAL area wilayah teduh ungu BESAR dan KECIL" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Memasukkan R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> warna (oranye) "Luas lingkaran kuning bergaris" #