Sebuah bola dijatuhkan lurus ke bawah dari ketinggian 12 kaki. Setelah mengenai tanah, ia memantul kembali 1/3 dari jarak jatuh. Seberapa jauh bola akan berjalan (ke atas dan ke bawah) sebelum istirahat?

Menjawab:

Bola akan melakukan perjalanan 24 kaki.

Penjelasan:

Masalah ini membutuhkan pertimbangan deret tak hingga. Pertimbangkan perilaku sebenarnya dari bola:

Pertama bola jatuh 12 kaki.

Selanjutnya bola memantul #12/3 = 4# kaki.

Bola kemudian jatuh 4 kaki.

Pada setiap pantulan berturut-turut, bola bergerak

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # kaki, dimana # n # adalah jumlah bouncing

Jadi, jika kita bayangkan bahwa bola dimulai dari #n = 0 #, maka jawaban kami dapat diperoleh dari deret geometri:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Perhatikan #-12# Istilah koreksi, ini karena jika kita mulai dari # n = 0 # kami menghitung bouncing ke-0 dari 12 kaki ke atas dan 12 kaki ke bawah. Pada kenyataannya, bola hanya melakukan separuh dari itu, saat bola dimulai di udara.

Kami dapat menyederhanakan jumlah kami untuk:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Ini hanya seri geometris sederhana, yang mengikuti aturan bahwa:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Selama # | r | <1 #

Ini menghasilkan solusi sederhana untuk masalah kita:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# kaki.