Jika a ^ 3 + b ^ 3 = 8 dan a ^ 2 + b ^ 2 = 4 berapakah nilai (a + b)?

Menjawab:

Ada dua nilai yang mungkin untuk jumlah tersebut, # a + b = 2 # (untuk # a = 2 # dan # b = 0 #) atau # a + b = -4 # (untuk # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Penjelasan:

Sebenarnya ada dua yang tidak diketahui, jumlah dan produk dari #Sebuah# dan # b, # jadi biarkan #x = a + b # dan #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Dua persamaan dalam dua tidak diketahui, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2th) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Itu disebut kubik depresi, dan mereka memiliki solusi bentuk tertutup yang cukup mudah seperti rumus kuadratik. Tetapi alih-alih menyentuh itu, mari kita tebak saja sebuah metode yang terhormat saat mencoba sejumlah kecil. Kami melihat # x = 2 # berfungsi demikian # (x-2) # adalah faktor.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Kita sekarang dapat faktor lebih lanjut

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Jadi ada dua nilai yang mungkin untuk penjumlahan, # a + b = 2 # dan # a + b = -4. #

Jawaban pertama sesuai dengan solusi nyata # a = 2, b = 0 # dan dengan simetri # a = 0, b = 2 #. Jawaban kedua sesuai dengan jumlah pasangan konjugat kompleks. Mereka # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Bisakah Anda memeriksa solusi ini?

Menjawab:

# (a + b) = 2, atau, a + b = -4 #

Penjelasan:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Sekarang,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Membiarkan,

# (a + b) = x #

Begitu, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

Perhatikan itu #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # adalah faktor.

Sekarang, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rr x = 2, atau, x = -4 #.

#:. a + b = 2, atau, a + b = -4 #.

Grafik diberikan di sini.

Nilai dari #color (red) ((a + b) = 2, atau, -4. #

Semoga ini bisa membantu …

Terima kasih…