Buktikan bahwa kurva x = y ^ 2 dan xy = k dipotong pada sudut yang benar jika 8k ^ 2 = 1?

Menjawab:

#-1#

Penjelasan:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

dua kurva tersebut

#x = y ^ 2 #

dan

#x = sqrt (1/8) / y atau x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

untuk kurva #x = y ^ 2 #, derivatif sehubungan dengan # y # aku s # 2t #.

untuk kurva #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, derivatif sehubungan dengan # y # aku s # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

titik di mana dua kurva bertemu adalah kapan # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

sejak #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

titik di mana kurva bertemu adalah # (1/2, sqrt (1/2)) #

kapan #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

gradien garis singgung ke kurva #x = y ^ 2 # aku s # 2sqrt (1/2), atau 2 / (sqrt2) #.

kapan #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

gradien garis singgung ke kurva #xy = sqrt (1/8) # aku s # -2sqrt (1/8), atau -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Kami mencari kondisi # k # sedemikian rupa sehingga kurva # x = y ^ 2 # dan # xy = k # "Potong di sudut kanan". Secara matematis ini berarti kurva harus orthogonal, yang pada gilirannya berarti bahwa pada semua titik garis singgung ke kurva pada apa saja titik yang diberikan adalah tegak lurus.

Jika kita memeriksa keluarga kurva untuk berbagai nilai # k # kita mendapatkan:

Kami segera mencatat bahwa kami mencari satu titik di mana garis singgung tegak lurus sehingga secara umum kurva tidak ortogonal di semua titik.

Pertama mari kita temukan tunggal koordinat, # P #, dari titik persimpangan, yang merupakan solusi simultan dari:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Mengganti Persamaan A ke B kita dapatkan:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

Maka kami menetapkan koordinat persimpangan:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Kita juga membutuhkan gradien garis singgung pada koordinat ini. Untuk kurva pertama:

# y ^ 2 = x => dy 2y / dx = 1 #

Jadi gradien garis singgung, # m_1 #, ke kurva pertama di # P # aku s:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Demikian pula untuk kurva kedua:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Jadi gradien garis singgung, # m_2 #, ke kurva kedua di # P # aku s:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Jika dua garis singgung ini tegak lurus maka kami mengharuskan:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Mengarah ke hasil yang diberikan:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Dan dengan nilai ini # k #