Menjawab:
Silakan lihat penjelasan di bawah ini
Penjelasan:
Fungsinya adalah
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Derivatif parsial adalah
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Membiarkan # (delf) / (delx) = 0 # dan # (delf) / (dely) = 0 #
Kemudian, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Matriks Hessian adalah
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Determinannya adalah
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Karena itu, Tidak ada poin sadel.
#D (1,1)> 0 # dan # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, ada minimum lokal di #(-3,3)#
Menjawab:
Minimum lokal: #(-3,3)#
Penjelasan:
Kelompok poin yang mencakup poin ekstra dan sadel ditemukan ketika keduanya # (delf) / (delx) (x, y) # dan # (delf) / (dely) (x, y) # sama dengan nol.
Asumsi # x # dan # y # adalah variabel independen:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Jadi kami memiliki dua persamaan simultan, yang dengan senang hati menjadi linear:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Dari yang pertama:
# y = -2x-3 #
Pengganti menjadi yang kedua:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Pengganti kembali menjadi yang pertama:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Jadi ada satu titik di mana turunan pertama secara seragam menjadi nol, baik ekstrem atau pelana, di # (x, y) = (- 3,3) #.
Untuk menyimpulkan, kita harus menghitung matriks turunan kedua, matriks Hessian (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2)))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Demikian
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2)))) = ((2,1), (1,2)) #
Semua turunan urutan kedua adalah konstan konstan berapapun nilainya # x # dan # y #, jadi kita tidak perlu secara khusus menghitung nilai untuk tempat menarik.
NB Urutan diferensiasi tidak masalah untuk fungsi dengan turunan kedua berkelanjutan (Teorema Clairault, aplikasi di sini: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), jadi kami berharap bahwa # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, seperti yang kita lihat dalam hasil spesifik kami di atas.
Dalam kasus dua variabel ini, kita dapat menyimpulkan jenis titik dari determinan Hessian, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Bentuk tes untuk mengelola diberikan di sini:
Kita melihat bahwa determinannya adalah #>0#, dan begitu juga # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Jadi kami menyimpulkan itu #(-3,3)#, satu-satunya titik nol turunan pertama, adalah minimum fungsi lokal.
Sebagai pemeriksaan kewarasan untuk pertanyaan fungsi satu dimensi, saya biasanya memposting grafiknya, tetapi Socrates tidak memiliki fasilitas ploting permukaan atau kontur yang cocok untuk fungsi dua dimensi, sejauh yang saya bisa lihat. Jadi saya akan overplot dua fungsi #f (-3, y) # dan #f (x, 3) #, yang tidak mencirikan seluruh domain fungsi untuk kami, tetapi akan menunjukkan kepada kami minimum di antara mereka, yang muncul seperti yang diharapkan pada # y = 3 # dan # x = -3 #, mengambil nilai fungsi yang identik # f = -5 # dalam setiap kasus.
Sebagai #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
grafik {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
