Tolong, seseorang membantu menyelesaikan masalah?

Menjawab:

Coba ubah # x = tan u #

Lihat di bawah

Penjelasan:

Kami tahu itu # 1 + tan ^ 2 u = dtk ^ 2u #

Dengan perubahan yang diusulkan kita miliki

# dx = sec ^ 2u du #. Mari kita gantikan secara integral

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / detik ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Jadi, batalkan perubahan:

# u = arctanx # dan akhirnya kita miliki

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Menjawab:

#color (biru) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Penjelasan:

Mari kita coba gunakan Substitusi Trigonometrik untuk menyelesaikan integral ini. Untuk melakukannya, kita akan membuat segitiga siku-siku #Delta ABC # dan memberi label sisi-sisinya sedemikian rupa sehingga menggunakan rumus Pythagoras kita dapat memperoleh ekspresi yang saat ini kita lihat dalam argumen integral sebagai berikut:

Sudut # / _ B = theta # memiliki sisi yang berlawanan # x # dan sisi yang berdekatan #1#. Menggunakan rumus Pythagoras:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # menghasilkan:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # seperti yang ditunjukkan.

Sekarang, mari kita tuliskan tiga fungsi trigonometri paling dasar untuk # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Sekarang kita perlu menggunakan persamaan ini untuk menyelesaikan berbagai bagian argumen integral dalam istilah trigonometri. Ayo gunakan # tantheta #:

# tantheta = x #

Mari kita ambil turunan dari kedua sisi:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Dari # costheta # persamaan, kita bisa memecahkannya #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Jika kita menaikkan kedua sisi persamaan ini ke kekuatan #3# kita mendapatkan:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Sekarang, kita dapat mengganti apa yang telah kita hitung menjadi integral masalah untuk mengubahnya menjadi integral trigonometri:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (detik ^ 2 thetad theta) / detik ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (merah) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (merah) (dt ^ 2 theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Sekarang, kita bisa mengganti kembali # sintheta # dan ubah jawaban kita kembali ke ekspresi aljabar dalam hal # x #:

#color (biru) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #