Apakah ada cara sistematis untuk menentukan jumlah angka antara 10 dan, katakanlah, 50, dapat dibagi dengan digit unit mereka?

Menjawab:

Jumlah angka antara #10# dan # 10k # dapat dibagi dengan satuan digit mereka dapat direpresentasikan sebagai

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

dimana #fl (x) # mewakili fungsi lantai, pemetaan # x # ke bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan # x #.

Penjelasan:

Ini sama dengan menanyakan berapa banyak bilangan bulat #Sebuah# dan # b # ada dimana # 1 <= b <5 # dan # 1 <= a <= 9 # dan #Sebuah# membagi # 10b + a #

Catat itu #Sebuah# membagi # 10b + a # jika dan hanya jika #Sebuah# membagi # 10b #. Dengan demikian, cukup untuk menemukan berapa banyak # b #Ada untuk masing-masing #Sebuah#. Juga, perhatikan itu #Sebuah# membagi # 10b # jika dan hanya jika masing-masing faktor prima #Sebuah# juga merupakan faktor utama # 10b # dengan multiplisitas yang sesuai.

Jadi, yang tersisa hanyalah melalui masing-masing #Sebuah#.

#a = 1 #: Karena semua bilangan bulat dapat dibagi #1#, keempat nilai untuk # b # kerja.

# a = 2 #: Sebagai #10# habis dibagi #2#, keempat nilai untuk # b # kerja.

# a = 3 #: Sebagai #10# tidak dapat dibagi oleh #3#, kita harus punya # b # sedang habis dibagi #3#, itu adalah, # b = 3 #.

# a = 4 #: Sebagai #10# habis dibagi #2#, kita harus punya # b # sebagai habis dibagi #2# untuk memiliki multiplisitas yang sesuai. Demikian, # b = 2 # atau # b = 4 #.

# a = 5 #: Sebagai #10# habis dibagi #5#, keempat nilai untuk # b # kerja.

# a = 6 #: Sebagai #10# habis dibagi #2#, kita harus punya # b # sebagai habis dibagi #3#, itu adalah, # b = 3 #.

# a = 7 #: Sebagai #10# tidak dapat dibagi oleh #7#, kita harus punya # b # sebagai habis dibagi #7#. Tapi #b <5 #, dan tidak ada nilai untuk # b # bekerja.

# a = 8 #: Sebagai #10# habis dibagi #2#, kita harus punya # b # sebagai habis dibagi #4#, itu adalah, # b = 4 #

# a = 9: # Sebagai #10# tidak dapat dibagi oleh #3#, kita harus punya # b # sebagai habis dibagi #3^2#. Tapi #b <5 #, dan tidak ada nilai untuk # b # bekerja.

Ini menyimpulkan setiap kasus, dan dengan menambahkannya, kita dapatkan, seperti yang disimpulkan dalam pertanyaan, #17# nilai-nilai. Metode ini dapat dengan mudah diperluas ke nilai yang lebih besar. Misalnya, jika kita ingin pergi dari #10# untuk #1000#, kami akan membatasi # 1 <= b <100 #. Lalu, melihat # a = 6 #, katakanlah, kita akan punya #2# membagi #10# dan dengan demikian #6# membagi # 10b # jika dan hanya jika #3# membagi # b #. Ada #33# kelipatan #3# dalam kisaran untuk # b #, dan dengan demikian #33# nomor yang diakhiri #6# dan habis dibagi #6# antara #10# dan #1000#.

Dalam notasi yang lebih pendek, lebih mudah untuk menghitung, menggunakan pengamatan di atas, kita dapat menulis jumlah bilangan bulat di antaranya #10# dan # 10k # sebagai

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

dimana #fl (x) # mewakili fungsi lantai, pemetaan # x # ke bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan # x #.