Berapakah orthocenter segitiga dengan simpul pada O (0,0), P (a, b), dan Q (c, d) #?

Menjawab:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Penjelasan:

Saya telah menggeneralisasi pertanyaan lama ini daripada mengajukan yang baru. Saya melakukan ini sebelumnya untuk pertanyaan penyunat dan tidak ada hal buruk terjadi, jadi saya melanjutkan seri.

Seperti sebelumnya saya meletakkan satu titik di titik asal untuk mencoba menjaga agar aljabar dapat ditata. Segitiga sewenang-wenang mudah diterjemahkan dan hasilnya dengan mudah diterjemahkan kembali.

Orthocenter adalah persimpangan dari ketinggian sebuah segitiga. Keberadaannya didasarkan pada teorema bahwa ketinggian segitiga berpotongan pada suatu titik. Kami mengatakan tiga ketinggian itu bersamaan.

Mari kita buktikan ketinggian segitiga OPQ bersamaan.

Vektor arah OP sisi adalah # P-O = P = (a, b), # yang hanya cara mewah untuk mengatakan lereng itu # b / a # (tetapi vektor arah juga berfungsi saat # a = 0 #). Kami mendapatkan vektor arah tegak lurus dengan menukar koordinat dan meniadakan satu, di sini # (b, -a). # Secara tegak lurus dikonfirmasi oleh produk titik nol:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 kuadrat #

Dengan demikian persamaan parametrik ketinggian dari OP ke Q adalah:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # nyata # t #

Ketinggian dari OQ ke P juga sama

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # nyata # u #

Vektor arah PQ adalah # Q-P = (c-a, d-b) #. Dengan demikian tegak lurus melalui asal, yaitu ketinggian dari PQ, adalah demikian

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # nyata # v #

Mari kita lihat pertemuan ketinggian dari OP dan PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Itu dua persamaan dalam dua yang tidak diketahui, # t # dan # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Kami akan mengalikan yang pertama dengan #Sebuah# dan yang kedua oleh # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Menambahkan, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Cara keren dengan produk titik di pembilang dan lintas produk di penyebut.

Bertemu adalah orthocenter yang diduga # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Mari kita cari pertemuan ketinggian dari OQ dan PQ berikutnya. Dengan simetri kita bisa bertukar saja #Sebuah# dengan # c # dan # b # dengan # d #. Kami akan memanggil hasilnya # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Kami memiliki dua persimpangan ini adalah sama, # (x ', y') = (x, y), # jadi kami telah membuktikan ketinggiannya bersamaan. #quad sqrt #

Kami telah membenarkan penamaan persimpangan umum tersebut ortocenter, dan kami telah menemukan koordinatnya.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #