Bagaimana Anda mengintegrasikan f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) menggunakan fraksi parsial?

Menjawab:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Penjelasan:

Karena penyebut sudah difaktorkan, semua yang perlu kita lakukan sebagian adalah menyelesaikan untuk konstanta:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Perhatikan bahwa kita membutuhkan keduanya # x # dan istilah konstan di fraksi paling kiri karena pembilang selalu 1 derajat lebih rendah dari penyebut.

Kita bisa berkembang biak dengan penyebut sisi kiri, tapi itu akan menjadi pekerjaan yang sangat besar, jadi kita bisa menjadi pintar dan menggunakan metode menutup-nutupi.

Saya tidak akan membahas proses secara rinci, tetapi pada dasarnya apa yang kita lakukan adalah mencari tahu apa yang membuat penyebut sama dengan nol (dalam kasus # C # ini # x = 3 #), dan menghubungkannya ke sisi kiri dan mengevaluasi sambil menutupi faktor yang sesuai dengan konstanta ini memberikan:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (teks (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Kita dapat melakukan hal yang sama untuk # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (teks (////))) = 35/51 #

Metode menutup-nutupi hanya berfungsi untuk faktor linear, jadi kami terpaksa menyelesaikannya untuk itu #SEBUAH# dan # B # menggunakan metode tradisional dan mengalikannya dengan penyebut sisi kiri:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Jika kita mengalikan semua kurung dan menyamakan semua koefisien dari berbagai # x # dan istilah konstan, kita dapat mengetahui nilai-nilai #SEBUAH# dan # B #. Ini perhitungan yang agak panjang, jadi saya hanya akan meninggalkan tautan untuk siapa pun yang tertarik:

klik disini

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Ini memberikan bahwa integral kami adalah:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Dua yang pertama dapat dipecahkan menggunakan substitusi-u dari penyebut:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Kami dapat membagi integral yang tersisa menjadi dua:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Saya akan memanggil Integral 1 kiri dan Integral 2 kanan.

Integral 1

Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan substitusi u # u = x ^ 2 + 2 #. Derivatifnya adalah # 2x #, jadi kami membagi dengan # 2x # untuk mengintegrasikan sehubungan dengan # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Kami ingin mendapatkan integral ini ke dalam formulir untuk # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Jika kami memperkenalkan substitusi dengan # x = sqrt2u #, kita akan dapat mengubah integral kita menjadi bentuk ini. Untuk mengintegrasikan sehubungan dengan # u #, kita harus mengalikan dengan # sqrt2 # (sejak kami mengambil turunan sehubungan dengan # u # dari pada # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Melengkapi integral asli

Sekarang kita tahu apa Integral 1 dan Integral 2 sama dengan, kita dapat menyelesaikan integral asli untuk mendapatkan jawaban akhir kita:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #