Bagaimana Anda membuktikan (1 - sin x) / (1 + sin x) = (detik x + tan x) ^ 2?

Menjawab:

Gunakan beberapa identitas trigonometri dan sederhanakan. Lihat di bawah.

Penjelasan:

Saya percaya ada kesalahan dalam pertanyaan itu, tapi itu bukan masalah besar. Agar masuk akal, pertanyaannya harus berbunyi:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

Bagaimanapun, kita mulai dengan ungkapan ini:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Ketika membuktikan identitas trigonometri, umumnya yang terbaik adalah bekerja di sisi yang memiliki pecahan).

Mari kita gunakan trik rapi yang disebut perkalian konjugat, di mana kita mengalikan pecahan dengan penyebutnya mengkonjugasikan:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Konjugat dari # a + b # aku s # a-b #, jadi konjugasi dari # 1 + sinx # aku s # 1-sinx #; kita kalikan dengan # (1-sinx) / (1-sinx) # untuk menyeimbangkan fraksi.

Catat itu # (1 + sinx) (1-sinx) # sebenarnya adalah perbedaan dari kotak, yang memiliki properti:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Di sini, kita melihat itu # a = 1 # dan # b = sinx #jadi:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Dari Identitas Pythagoras # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, karena itu (setelah dikurangi # sin ^ 2x # dari kedua sisi), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, kami berangkat # (1-sinx) / (1-sinx) # untuk # 1-sin ^ 2x # untuk # cos ^ 2x #! Sekarang masalah kita terlihat seperti:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Mari kita memperluas pembilangnya:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Ingat: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Sekarang, kami akan memecah pecahan:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = dtk ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Cara menyederhanakan bahwa ? Nah, ingat ketika saya berkata "Ingat: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Ternyata itu # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # sebenarnya # (secx-tanx) ^ 2 #. Jika kita membiarkannya # a = secx # dan # b = tanx #, kita dapat melihat bahwa ungkapan ini adalah:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Yang, seperti yang saya katakan setara dengan # (a-b) ^ 2 #. Menggantikan #Sebuah# dengan # secx # dan # b # dengan # tanx # dan Anda mendapatkan:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Dan kami telah menyelesaikan prood:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #