Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) pada interval x, y dalam [-pi, pi]?

Menjawab:

Penjelasan:

Kita punya:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2t #

Langkah 2 - Identifikasi Poin Kritis

Titik kritis terjadi pada solusi simultan dari

# f_x = f_y = 0 iff (sebagian f) / (sebagian x) = (sebagian f) / (sebagian y) = 0 #

yaitu ketika:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # serentak

Pertimbangkan persamaan A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Lalu kami memiliki dua solusi:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Sekarang mari kita gunakan Persamaan B untuk menemukan koordinat yang sesuai:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x dalam RR # (talang)

Yang memberi kami poin-poin penting berikut:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 poin kritis)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 poin kritis)

# (alpha, 0) AA alpha dalam RR # (garis selokan)

# (alpha, + -pi) AA alpha dalam RR # (2 saluran selokan)

Pertimbangkan persamaan B

# -6sinxsin2y = 0 #

Lalu kami memiliki dua solusi:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Sekarang mari kita gunakan Persamaan A untuk menemukan koordinat yang sesuai @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (berulang di atas)

# y = 0 => x dalam RR # (ulangi di atas)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (berulang di atas)

Yang tidak memberi kami poin kritis tambahan:

Langkah 3 - Klasifikasi poin-poin penting

Untuk mengklasifikasikan titik-titik kritis kami melakukan tes yang mirip dengan satu kalkulus variabel menggunakan turunan parsial kedua dan Matriks Hessian.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parsial ^ 2 f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y)), ((parsial ^ 2 f) / (parsial y parsial x), (parsial ^ 2 f) / (parsial y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Kemudian tergantung pada nilai #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Ada maksimum jika" f_ (xx) <0), (, "dan minimum jika" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "ada titik pelana"), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Menggunakan makro excel kustom, nilai fungsi bersama dengan nilai turunan parsial dihitung sebagai berikut:

Berikut adalah plot fungsinya

Dan omong kosong dengan titik-titik kritis (dan selokan)