Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) pada interval x, y dalam [-pi, pi]?

Menjawab:

Penjelasan:

Kita punya:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2t #

Langkah 2 - Identifikasi Poin Kritis

Titik kritis terjadi pada solusi simultan dari

# f_x = f_y = 0 iff (sebagian f) / (sebagian x) = (sebagian f) / (sebagian y) = 0 #

yaitu ketika:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # serentak

Pertimbangkan persamaan A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Lalu kami memiliki dua solusi:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Sekarang mari kita gunakan Persamaan B untuk menemukan koordinat yang sesuai:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x dalam RR # (talang)

Yang memberi kami poin-poin penting berikut:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 poin kritis)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 poin kritis)

# (alpha, 0) AA alpha dalam RR # (garis selokan)

# (alpha, + -pi) AA alpha dalam RR # (2 saluran selokan)

Pertimbangkan persamaan B

# -6sinxsin2y = 0 #

Lalu kami memiliki dua solusi:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Sekarang mari kita gunakan Persamaan A untuk menemukan koordinat yang sesuai @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (berulang di atas)

# y = 0 => x dalam RR # (ulangi di atas)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (berulang di atas)

Yang tidak memberi kami poin kritis tambahan:

Langkah 3 - Klasifikasi poin-poin penting

Untuk mengklasifikasikan titik-titik kritis kami melakukan tes yang mirip dengan satu kalkulus variabel menggunakan turunan parsial kedua dan Matriks Hessian.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parsial ^ 2 f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y)), ((parsial ^ 2 f) / (parsial y parsial x), (parsial ^ 2 f) / (parsial y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Kemudian tergantung pada nilai #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Ada maksimum jika" f_ (xx) <0), (, "dan minimum jika" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "ada titik pelana"), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Menggunakan makro excel kustom, nilai fungsi bersama dengan nilai turunan parsial dihitung sebagai berikut:

Berikut adalah plot fungsinya

Dan omong kosong dengan titik-titik kritis (dan selokan)

Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Kami memiliki: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Langkah 1 - Temukan Derivatif Parsial Kami menghitung turunan parsial dari fungsi dua atau lebih variabel dengan membedakan wrt satu variabel, sedangkan variabel lainnya diperlakukan sebagai konstan. Jadi: Derivatif Pertama adalah: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1- x ^ 2-xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x ^ 2

Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domain definisi: f (x) = 2x ^ 2lnx adalah interval x dalam (0, + oo). Mengevaluasi turunan pertama dan kedua dari fungsi: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Poin kritis adalah solusi dari: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 dan sebagai x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Pada titik ini: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 sehingga titik kritis adalah minimum lokal. Poin pelana adalah solusi dari: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 dan karena f '' (x) adalah peningkatan monoton kita dapat

Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = 6 sin x sin y pada interval x, y dalam [-pi, pi]?

X = pi / 2 dan y = pi x = pi / 2 dan y = -pi x = -pi / 2 dan y = pi x = -pi / 2 dan y = -pi x = pi dan y = pi / 2 x = pi dan y = -pi / 2 x = -pi dan y = pi / 2 x = -pi dan y = -pi / 2 Untuk menemukan titik-titik kritis dari fungsi 2-variabel, Anda perlu menghitung gradien, yang adalah vektor yang berisi turunan terhadap masing-masing variabel: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Jadi, kita memiliki d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y), dan juga d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Untuk menemukan titik kritis, gradien harus vektor nol (0,0), yang berarti menyelesaikan sistem {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} y