Apa akar pangkat tiga dari (sqrt3 -i)?

Saya akan mulai dengan mengubah angka menjadi bentuk trigonometri:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Akar kubus dari angka ini dapat ditulis sebagai:

# z ^ (1/3) #

Sekarang dengan pemikiran ini saya menggunakan rumus untuk kekuatan ke-n dari bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # memberi:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Yang berbentuk persegi panjang adalah: # 4.2-0.7i #

Saya tidak bisa sepenuhnya setuju dengan jawaban Gió, karena itu tidak lengkap dan juga (secara resmi) salah.

Kesalahan formal adalah dalam penggunaan Formula De Moivre dengan eksponen non-integer. Formula De Moivre hanya dapat diterapkan untuk eksponen integer. Lebih detail tentang ini di halaman Wikipedia

Di sana Anda akan menemukan sebagian ekstensi formula, untuk ditangani # n #-th root (ini melibatkan parameter ekstra # k #): jika # z = r (cos theta + i sin theta) #, kemudian

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # dimana # k = 0, …, n-1 #.

Satu (dan dalam beberapa hal itu) properti yang sangat mendasar dari bilangan kompleks adalah itu # n #- Akar memiliki … # n # akar (solusi)! Parameter # k # (itu bervariasi antara #0# dan # n-1 #jadi # n # nilai) memungkinkan kita meringkasnya dalam satu formula.

Jadi akar pangkat tiga memiliki solusi dan menemukan satu saja tidak cukup: hanya saja "#1/3# dari solusi ".

Saya akan menulis solusi-proposal saya di bawah ini. Komentar dipersilahkan!

Seperti yang disarankan Gió dengan benar, langkah pertama adalah mengekspresikan # z = sqrt {3} -i # dalam bentuk trigonometriknya #r (cos theta + i sin theta) #. Saat berhadapan dengan akar, bentuk trigonometrik (hampir) selalu merupakan alat yang berguna (bersama-sama dengan yang eksponensial). Anda mendapatkan:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Begitu # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Sekarang Anda ingin menghitung akarnya. Dengan rumus yang dilaporkan di atas, kita mendapatkan:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

dimana # k = 0, 1, 2 #. Jadi ada tiga nilai yang berbeda # k # (#0#, #1# dan #2#) yang melahirkan tiga akar kompleks yang berbeda # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # dan # z_2 # adalah tiga solusi.

Interpretasi geometris dari rumus untuk # n # akar sangat berguna untuk menggambar solusi di bidang kompleks. Juga plot menunjukkan dengan sangat baik sifat-sifat formula.

Pertama-tama, kita dapat melihat bahwa semua solusi memiliki jarak yang sama # r ^ {1 / n} # (dalam contoh kita #2^{1/3}#) dari asalnya. Jadi mereka semua berbaring di keliling jari-jari # r ^ {1 / n} #. Sekarang kita harus tunjukkan dimana untuk menempatkan mereka di lingkar ini. Kita dapat menulis ulang argumen sinus dan kosinus dengan cara berikut:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

Root "pertama" berhubungan dengan # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Semua akar lainnya dapat diperoleh dari ini dengan menambahkan sudut # (2pi) / n # secara rekursif ke sudut # theta / n # relatif terhadap root pertama # z_0 #. Jadi kami bergerak # z_0 # pada lingkar dengan rotasi # (2pi) / n # radian (# (360 °) / n #). Jadi titik-titik tersebut berada pada simpul yang teratur # n #-gon. Diberikan salah satu dari mereka, kita dapat menemukan yang lain.

Dalam kasus kami:

dimana sudut biru berada # theta / n = -pi / 18 # dan magenta adalah # (2pi) / n = 2/3 pi #.