Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial yang dapat dipisahkan dan menemukan solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal y ( 4) = 3?

Menjawab:

Solusi Umum: #color (red) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Solusi Khusus: #color (blue) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Penjelasan:

Dari persamaan diferensial yang diberikan #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

perhatikan, itu #y '(x) = dy / dx # dan #y (x) = y #oleh karena itu

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

bagi kedua belah pihak dengan #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Kalikan kedua sisi dengan # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

mengubah urutan # dx # ke sisi kiri

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

mengintegrasikan di kedua sisi kami memiliki hasil sebagai berikut

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (red) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Solusi Umum

Tapi #y (-4) = 3 # artinya kapan # x = -4 #, # y = 3 #

Kita sekarang bisa menyelesaikannya # C_1 # untuk memecahkan solusi khusus

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Karena itu, solusi khusus kami adalah

#color (blue) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Tuhan memberkati …. Semoga penjelasannya bermanfaat.

Menjawab:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #, dengan #y> = - 13/4 #.

Penjelasan:

#y> = - 13/4 #, untuk membuat #sqrt (4y + 13) # nyata..

Mengatur ulang, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Begitu, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Menggunakan #y = 3, ketika x = -4, C = -`13 / 2 #

Begitu. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Berbalik. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #