Apa perbedaan substitusi trigonometri dengan substitusi u?

Menjawab:

Secara umum, substitusi trigonometri digunakan untuk integral dari formulir # x ^ 2 + -a ^ 2 # atau #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, sementara # u #-substitusi digunakan ketika suatu fungsi dan turunannya muncul di integral.

Penjelasan:

Saya menemukan kedua jenis pergantian itu sangat menarik karena alasan di belakang mereka. Pertimbangkan, pertama, gantikan substitusi. Ini berasal dari Teorema Pythagoras dan Identitas Pythagoras, mungkin dua konsep paling penting dalam trigonometri. Kami menggunakan ini ketika kami memiliki sesuatu seperti:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # dimana #Sebuah# konstan

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # lagi dengan asumsi #Sebuah# konstan

Kita bisa melihat bahwa keduanya sangat mirip # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, yang merupakan Teorema Pythagoras. Ini menghubungkan kedua sisi segitiga siku-siku dengan sisi miring segitiga. Jika kita menarik ini, kita bisa melihat bahwa ya, # x ^ 2 + a ^ 2 # dapat direpresentasikan dengan segitiga:

Gambar itu sangat berguna, karena memberi tahu kita # tantheta = x / a #, atau # atantheta = x #; ini membentuk dasar substitusi trigonometri. Selanjutnya (dan di sinilah ia menjadi luar biasa), ketika Anda mengganti # x = tantheta # ke # x ^ 2 + a ^ 2 #, Anda berakhir dengan Identitas Pythagoras, dalam hal ini # tan ^ 2theta + 1 = dtk ^ 2theta #. Anda kemudian dapat melakukan beberapa penyederhanaan # sec ^ 2theta # jika Anda perlu, dan integral mudah ada di luar. Hal yang sama berlaku untuk kasus-kasus # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, dan #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Anda dapat menggunakan sub trigonometri. untuk banyak masalah, tetapi Anda dapat menggunakannya # u #-substitusi bahkan bisa dibilang lebih. Kami menggunakan teknik ini ketika kami memiliki sesuatu seperti # intlnx / xdx #. Jika kita jeli, kita melihat bahwa kita memiliki dua fungsi - # lnx # dan # 1 / x #. Dan jika kita mengingat turunan dasar kita, kita tahu # d / dxlnx = 1 / x # untuk #x> 0 # (atau # d / dxlnabs (x) = 1 / x # untuk #x! = 0 #). Jadi idenya adalah katakan biarkan # u = lnx #; kemudian # (du) / dx = 1 / x # dan # du = dx / x #. Masalahnya, setelah melakukan pergantian ini, disederhanakan menjadi # intudu # - Integral yang jauh lebih mudah dari sebelumnya.

Meskipun kedua teknik ini mungkin berbeda, keduanya memiliki tujuan yang sama: untuk mengurangi bentuk integral menjadi lebih sederhana sehingga kita dapat menggunakan teknik dasar. Saya yakin penjelasan saya tidak cukup untuk memasukkan semua detail spesifik tentang penggantian ini, jadi saya mengundang orang lain untuk berkontribusi.