Apa itu angka empat?

Menjawab:

Semacam angka yang perkaliannya tidak umumnya komutatif.

Penjelasan:

Bilangan real (# RR #) dapat diwakili oleh garis - ruang satu dimensi.

Bilangan kompleks (# CC #) dapat diwakili oleh pesawat - ruang dua dimensi.

Pertanyaan (H) dapat diwakili oleh ruang empat dimensi.

Dalam angka aritmatika biasa memenuhi aturan berikut:

Tambahan

Identitas: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Terbalik: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Asosiatif: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Komutatif: #AA a, b: a + b = b + a #

Perkalian

Identitas: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Invers of non-zero: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Asosiatif: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Komutatif: #warna (merah) (AA a, b: a * b = b * a) #

Bersama

Distribusi: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#warna putih)()#

Aturan-aturan ini bekerja untuk himpunan bilangan rasional # QQ #, himpunan bilangan real # RR # dan bilangan Kompleks # CC # dan mendefinisikan apa yang disebut a bidang - satu set yang dilengkapi dengan operasi penambahan dan penggandaan yang memenuhi aturan-aturan ini.

Pertanyaan (H) adalah apa yang disebut a bidang miring atau aljabar divisi asosiatif - satu set yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian memuaskan semua kondisi ini kecuali komutatifitas perkalian.

Menjadi juga a #4# dimensi ruang vektor atas Real, mereka adalah aljabar divisi asosiatif terbesar atas Real, hanya dua lainnya # RR # dan # CC #.

Terlepas dari sumbu Real, satuan pada tiga sumbu lainnya disebut #saya#, # j # dan # k #. Mereka semua akar kuadrat dari #-1#.

Tiga unit imajiner ini memenuhi kondisi berikut:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Pertanyaan dapat diwakili oleh # 2xx2 # matriks dengan nilai Kompleks atau oleh # 4xx4 # matriks dengan nilai nyata.

Mereka memiliki aplikasi dalam mekanika dan fisika teoretis.

#warna putih)()#

Catatan kaki

Perhatikan bahwa saya katakan asosiatif aljabar pembagian. Di luar Quaternions ada Octonions yang bahkan lebih aneh yang menjatuhkan persyaratan bahwa perkalian harus asosiatif.