Gunakan Uji Rasio untuk menemukan konvergensi dari seri berikut?

Menjawab:

Seri ini berbeda, karena batas rasio ini> 1

#lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 #

Penjelasan:

Membiarkan #sebuah# jadilah yang ke-n dari seri ini:

#a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) #

Kemudian

#a_ (n +1) = ((2 (n +1))!) / (3 ^ (n +1) ((n +1)!) ^ 2) #

# = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ((n + 1)!) ^ 2) #

# = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) #

# = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) #

# = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) #

#a_ (n +1) = a_n * (2 (2n +1)) / (3 (n +1)) #

#a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) #

Mengambil batasan rasio ini

#lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 #

Jadi seri ini berbeda.

Apa yang dimaksud dengan Uji Perbandingan Langsung untuk Konvergensi Seri Infinite?

Jika Anda mencoba menentukan konergensi jumlah {a_n}, maka Anda dapat membandingkan dengan jumlah b_n yang konvergensinya diketahui. Jika 0 leq a_n leq b_n dan jumlah b_n konvergen, maka jumlah a_n juga konvergen. Jika a_n geq b_n geq 0 dan jumlah b_n diverges, maka jumlah a_n juga diverges. Tes ini sangat intuitif karena semua yang dikatakannya adalah bahwa jika seri yang lebih besar bergabung, maka seri yang lebih kecil juga akan bertemu, dan jika seri yang lebih kecil menyimpang, maka seri yang lebih besar akan menyimpang.

Bagaimana saya menemukan konvergensi atau divergensi dari seri ini? jumlah dari 1 hingga tak terbatas 1 / n ^ lnn

Konvergen Pertimbangkan seri jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, di mana p> 1. Dengan uji-p, seri ini bertemu. Sekarang, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p untuk semua yang cukup besar n selama p adalah nilai yang terbatas. Jadi, dengan uji perbandingan langsung, jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n bertemu. Bahkan, nilainya kira-kira sama dengan 2.2381813.

Bagaimana Anda menemukan tiga istilah pertama dari seri Maclaurin untuk f (t) = (e ^ t - 1) / t menggunakan seri Maclaurin dari e ^ x?

Kita tahu bahwa seri Maclaurin dari e ^ x adalah sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!). Kita juga dapat menurunkan deret ini dengan menggunakan ekspansi Maclaurin dari f (x) = sum_ (n = 0) ^ ok ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) dan fakta bahwa semua turunan dari e ^ x masih e ^ x dan e ^ 0 = 1. Sekarang, cukup gantikan seri di atas menjadi (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (jumlah_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = jumlah_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Jika Anda ingin indeks dimulai pada i = 0, cukup gantikan n = i + 1: = jumlah_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Sek