APA adalah silinder terbesar jari-jari, r dan tinggi h yang dapat ditampung dalam bidang jari-jari, R?

Menjawab:

Volume maksimum silinder ditemukan jika kita memilih

# r = sqrt (2/3) R #, dan #h = (2R) / sqrt (3) #

Pilihan ini menghasilkan volume silinder maksimum:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Penjelasan:

``

Bayangkan sebuah penampang melintang di tengah-tengah silinder, dan biarkan silinder memiliki ketinggian # h #, dan volume # V #, lalu kita miliki;

# h # dan # r # dapat bervariasi dan # R # adalah konstan. Volume silinder diberikan oleh rumus standar:

# V = pir ^ 2j #

Jari-jari bola, # R # adalah sisi miring dari segitiga dengan sisi # r # dan # 1 / 2j #, jadi menggunakan Pythagoras, kami memiliki:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2j) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Kami dapat menggantinya dengan persamaan volume kami untuk mendapatkan:

# V = pir ^ 2j #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2j-1 / 4pih ^ 3 #

Kami sekarang memiliki volume, # V # sebagai fungsi dari satu variabel # h #, yang kami upayakan untuk memaksimalkan wrt # h # jadi membedakan wrt # h # memberi:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Minimal atau maksimal, # (dV) / (dh) = 0 # begitu:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4j ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (jelas kami ingin te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Dengan nilai ini sebesar # h # kita mendapatkan:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Kami harus memeriksa bahwa nilai ini mengarah ke volume maksimum (bukan maksimum), Kami melakukan ini dengan melihat turunan kedua:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Dan sebagai #h> 0 # kami menyimpulkan itu # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # dan bahwa titik kritis yang diidentifikasi mengarah ke maksimum seperti yang dicari.

Oleh karena itu, volume maksimum silinder ditemukan jika kita memilih

# r = sqrt (2/3) R #, dan #h = (2R) / sqrt (3) #

Dengan pilihan ini, kami mendapatkan volume maksimum sebagai;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Dan jelas volume Sphere diberikan oleh:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Ini adalah masalah yang sangat terkenal, yang dipelajari oleh ahli matematika Yunani sebelum Kalkulus ditemukan. Properti yang menarik adalah rasio volume silinder dengan volume bola:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Dengan kata lain rasio volume sepenuhnya independen # R #, # r # atau # h # yang merupakan hasil yang sangat mencengangkan!