Apa saja contoh seri konvergen?

Menjawab:

Berikut adalah tiga contoh penting …

Penjelasan:

Seri geometris

Jika #ab (r) <1 # maka jumlah deret geometri #a_n = r ^ n a_0 # konvergen:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Fungsi eksponensial

Seri ini mendefinisikan # e ^ x # konvergen untuk nilai apa pun dari # x #:

# e ^ x = jumlah_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Untuk membuktikan ini, untuk apa pun yang diberikan # x #biarkan # N # menjadi bilangan bulat yang lebih besar dari #ab (x) #. Kemudian #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # konvergen karena jumlah yang terbatas dan #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konvergen karena nilai absolut dari rasio istilah berturut-turut kurang dari #ab (x) / (N +1) <1 #.

Masalah Basel

Masalah Basel, diajukan pada 1644 dan diselesaikan oleh Euler pada 1734 meminta nilai dari jumlah timbal balik kuadrat dari bilangan bulat positif:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #