Menjawab:
Ini benar-benar konvergen.
Penjelasan:
Gunakan tes untuk konvergensi absolut. Jika kita mengambil nilai absolut dari persyaratan, kita mendapatkan seri
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Ini adalah seri geometris dari rasio umum #1/4#. Dengan demikian konvergen. Karena keduanya # | a_n | # konvergen #sebuah# konvergen sepenuhnya.
Semoga ini bisa membantu!
Menjawab:
# "Ini adalah seri geometris sederhana dan konvergen sepenuhnya dengan" # # "jumlah" = 16/5 = 3.2. "#
Penjelasan:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", asalkan | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Ambil" a = -1/4 ", maka kita punya" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Sekarang seri kami empat kali lipat dari istilah pertama adalah 4." #
# "Jadi seri kami" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Menjawab:
Seri geometris benar-benar bertemu, dengan
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Penjelasan:
Seri ini jelas merupakan seri bolak-balik; Namun, itu juga terlihat geometris.
Jika kita dapat menentukan rasio umum yang dibagikan oleh semua istilah, seri tersebut akan berada di formulir
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Dimana #Sebuah# adalah istilah pertama dan # r # adalah rasio umum.
Kita perlu menemukan penjumlahan menggunakan format di atas.
Bagilah setiap suku dengan suku sebelumnya untuk menentukan rasio umum # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Dengan demikian, seri ini geometris, dengan rasio umum # r = -1 / 4 #, dan masa jabatan pertama # a = 4. #
Kita dapat menulis seri sebagai
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Ingat seri geometris itu #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # konvergen ke # a / (1-r) # jika # | r | <1 #. Jadi, jika konvergen, kita juga dapat menemukan nilai pastinya.
Sini, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, jadi seri menyatu:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Sekarang, mari kita tentukan apakah itu benar-benar konvergen.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
Hapus istilah negatif bolak-balik:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Ambil nilai absolut, menyebabkan istilah negatif bergantian menghilang:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Demikian, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Kami melihat # | r | = 1/4 <1 #, jadi kami masih memiliki konvergensi:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Seri ini benar-benar konvergen, dengan
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
