Sederhanakan sepenuhnya: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Ingat itu

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Demikian

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Oleh karena itu ungkapan kami setara dengan #cos (40) #.

Semoga ini bisa membantu!

Menjawab:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Penjelasan:

"Sepenuhnya" adalah tujuan kabur pada trigonometri, seperti yang akan kita lihat.

Pertama, inti dari masalah ini adalah mengenali bentuk sinus dari rumus sudut ganda kosinus:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1- sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Menulis ini untuk # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Agaknya #cos 40 ^ circ # adalah hasilnya "disederhanakan sepenuhnya."

Itulah jawabannya. Monzur menyarankan agar saya memberi peringatan sebelum bagian selanjutnya. Ini sepenuhnya opsional; teruslah membaca jika Anda ingin tahu lebih banyak tentang #cos 40 ^ circ # dan berhenti membaca jika Anda tidak.

#cos 40 ^ circ # disederhanakan sepenuhnya, karena sebenarnya tidak ada ungkapan yang lebih baik yang bisa kita tuliskan untuk itu #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # tidak dapat dibangun dengan penggaris-sejajar dan kompas. Itu berarti fungsi trigonometri bukan hasil bilangan bulat yang terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian serta akar kuadrat.

#cos 40 ^ circ # sebenarnya adalah akar dari persamaan polinomial dengan koefisien integer. # theta = 40 ^ circ # memenuhi persamaan #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Jika #x = cos theta, # itu #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # Dimana # T #s adalah polinomial Chebyshev dari jenis pertama. Alih-alih rumus sudut ganda dan tiga, mereka adalah rumus sudut 44 kali dan 46 kali.

Begitu #cos (40 ^ circ) # adalah salah satu dari empat puluh enam akar:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 557978099279468 x 788488487488487488 jika lebih besar dari 328? + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 12 + 97905899520 x ^ 12 - 70389862408 x 812 + 155.848 x ^ 4-968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46-404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42-7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38-28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 4188847629932 x 668? 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Itu tidak sederhana sama sekali.