Menjawab:
Inti nya # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) sekitar (1.26694,1.16437) # adalah titik minimum lokal.
Penjelasan:
Derivatif parsial orde pertama adalah # (sebagian f) / (sebagian x) = y-3x ^ {- 4} # dan # (partial f) / (partial y) = x-2y ^ {- 3} #. Pengaturan keduanya sama dengan nol hasil dalam sistem # y = 3 / x ^ (4) # dan # x = 2 / y ^ {3} #. Mengganti persamaan pertama menjadi memberi kedua # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Sejak #x! = 0 # dalam domain # f #, ini menghasilkan # x ^ {11} = 27/2 # dan # x = (27/2) ^ {1/11} # yang seperti itu # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Derivatif parsial orde kedua adalah # (parsial ^ {2} f) / (parsial x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (sebagian ^ {2} f) / (parsial y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, dan # (parsial ^ {2} f) / (parsial x parsial y) = (parsial ^ {2} f) / (parsial y parsial x) = 1 #.
Karena itu diskriminan # D = (parsial ^ {2} f) / (parsial x ^ {2}) * (parsial ^ {2} f) / (parsial y ^ {2}) - ((parsial ^ {2} f) / (parsial x parsial y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Ini positif pada titik kritis.
Karena turunan parsial orde dua murni (non-campuran) juga positif, maka titik kritisnya adalah minimum lokal.
