Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Menjawab:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Penjelasan:

kami mencari:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Ketika kita mengevaluasi batas kita melihat perilaku fungsi "dekat" titik, belum tentu perilaku fungsi "pada" titik yang dimaksud, dengan demikian sebagai #x rarr 0 #, pada titik mana pun kita perlu mempertimbangkan apa yang terjadi pada # x = 0 #, Dengan demikian kita mendapatkan hasil yang sepele:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Untuk kejelasan grafik fungsi untuk memvisualisasikan perilaku di sekitar # x = 0 #

grafik {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Harus dibuat jelas bahwa fungsinya # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # tidak ditentukan pada # x = 0 #

Menjawab:

Silahkan lihat di bawah ini.

Penjelasan:

Definisi batas fungsi yang saya gunakan setara dengan:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # jika dan hanya untuk setiap positif # epsilon #, ada yang positif #delta# sedemikian rupa untuk setiap # x #, jika # 0 <abs (x-a) <delta # kemudian #ab (f (x) - L) <epsilon #

Karena arti dari "#ab (f (x) - L) <epsilon #", ini mengharuskan itu untuk semua # x # dengan # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # didefinisikan.

Yaitu, untuk yang dibutuhkan #delta#, semua # (a-delta, a + delta) # kecuali mungkin #Sebuah#, terletak di domain # f #.

Semua ini membuat kita:

#lim_ (xrarra) f (x) # hanya ada jika # f # didefinisikan dalam beberapa interval terbuka yang mengandung #Sebuah#, kecuali mungkin pada #Sebuah#.

(# f # harus didefinisikan di beberapa lingkungan terbuka yang dihapus dari #Sebuah#)

Karena itu, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # tidak ada.

Contoh yang hampir sepele

#f (x) = 1 # untuk # x # real yang irasional (tidak terdefinisi untuk rasional)

#lim_ (xrarr0) f (x) # tidak ada.