Apa nilainya? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Menjawab:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Penjelasan:

Kami mencari:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Baik pembilang dan penyebut the2 #rarr 0 # sebagai #x rarr 0 #. dengan demikian batasnya # L # (jika ada) adalah dari bentuk tak tentu #0/0#, dan akibatnya, kami dapat menerapkan aturan L'Hôpital untuk mendapatkan:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Sekarang, menggunakan teorema dasar kalkulus:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Dan,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Dan sebagainya:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Sekali lagi ini adalah bentuk yang tidak pasti #0/0#, dan akibatnya, kami dapat menerapkan aturan L'Hôpital lagi untuk mendapatkan:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Yang mana, kita dapat mengevaluasi:

# L = (0) / (2-0) = 0 #