Apa persamaan dalam bentuk standar parabola dengan fokus di (42, -31) dan directrix dari y = 2?

Menjawab:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # bentuk standar

Penjelasan:

Harap perhatikan bahwa directrix adalah garis horizontal

#y = 2 #

Oleh karena itu, parabola adalah jenis yang terbuka ke atas atau ke bawah; bentuk simpul dari persamaan untuk tipe ini adalah:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Dimana # (h, k) # adalah titik dan # f # adalah jarak vertikal yang ditandatangani dari titik ke fokus.

Koordinat x dari titik adalah sama dengan koordinat x dari fokus:

#h = 42 #

Pengganti #42# untuk # h # ke dalam persamaan 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

Koordinat y titik adalah setengah antara directrix dan fokus:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Pengganti #-29/2# untuk # k # ke dalam persamaan 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Persamaan untuk menemukan nilai # f # aku s:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Pengganti #-33/2# untuk # f # ke dalam persamaan 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Sederhanakan fraksi:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Perluas kotak:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Bagikan fraksi:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Gabungkan istilah seperti:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # bentuk standar

Menjawab:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Penjelasan:

Kami akan menyelesaikan ini Masalah menggunakan yang berikut ini Fokus-Directrix

Properti (FDP) dari Parabola.

FDP: Poin apa saja pada a Parabola aku s sama jauh dari

Fokus dan Directrix.

Biarkan, intinya # F = F (42, -31), "dan, baris" d: y-2 = 0, # menjadi

itu Fokus dan Directrix dari Parabola, katakan S.

Membiarkan, # P = P (x, y) dalam S, # menjadi apa saja General Point.

Kemudian, gunakan Formula Jarak, yang kita miliki, jaraknya,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………….. (1). #

Mengetahui itu # bot- #dist. antara satu titik # (k, k), # dan, sebuah baris:

# ax + by + c = 0, # aku s, # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # kami menemukan itu, # "the" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "adalah," | y-2 | ………….. (2). #

Oleh FDP, # (1), dan (2), # kita punya, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, atau, #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, yaitu,, #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # yang, di Bentuk standar, membaca, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

sebagai Douglas K. Sir yang terhormat telah diturunkan!

Nikmati Matematika.!