Misalkan z = x + yi, di mana x dan y adalah bilangan real. Jika (iz-1) / (z-i) adalah bilangan real, tunjukkan bahwa ketika (x, y) tidak sama dengan (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Menjawab:

Silahkan lihat di bawah ini,

Sebagai # z = x + iy #

# (iz-1) / (z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (ix- (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((ix- (y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (x ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Sebagai # (iz-1) / (z-i) # adalah nyata

# (x ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # dan # x ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Sekarang sebagai # x ^ 2 + (y-1) ^ 2 # adalah jumlah dari dua kotak, itu bisa nol hanya ketika # x = 0 # dan # y = 1 # yaitu

jika # (x, y) # tidak #(0,1)#, # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #