Berapakah batas x mendekati tak terhingga dari (ln (x)) ^ (1 / x)?

Cukup sederhana. Anda harus menggunakan fakta itu

# ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Lalu, Anda tahu itu

# ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

Dan kemudian, bagian yang menarik terjadi yang dapat diselesaikan dengan dua cara - menggunakan intuisi dan menggunakan matematika.

Mari kita mulai dengan bagian intuisi.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("sesuatu yang lebih kecil dari x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Mari kita pikirkan mengapa demikian?

Terima kasih untuk kesinambungan # e ^ x # fungsi kita dapat memindahkan batas:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Untuk mengevaluasi batas ini #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, kami dapat menggunakan aturan de l'Hospital yang menyatakan:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Karena itu, ketika kami menghitung derivatif, kami mendapatkan:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Seperti halnya derivatif # 1 / (xln (x)) # untuk nominator dan #1# untuk penyebut.

Batas itu mudah dihitung seperti apa adanya # 1 / infty # jenis batas yang nol.

Karena itu, Anda lihat itu

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

Dan itu artinya #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # demikian juga.

Berapa batas x mendekati tak terhingga 1 / x?

Lim_ (x-> oo) (1 / x) = 1 / oo = 0 Ketika penyebut fraksi meningkatkan pendekatan fraksi 0. Contoh: 1/2 = 0,5 1/5 = 0,2 1/100 = 0,01 1/100000 = 0,00001 Pikirkan ukuran irisan individual Anda dari pai pizza yang ingin Anda bagikan secara merata dengan 3 teman. Pikirkan slice Anda jika Anda ingin berbagi dengan 10 teman. Pikirkan lagi irisan Anda jika Anda ingin berbagi dengan 100 teman. Ukuran irisan Anda berkurang saat Anda menambah jumlah teman.

Berapa batas x mendekati tak terhingga lnx?

Pertama-tama, penting untuk mengatakan bahwa oo, tanpa tanda di depan, akan ditafsirkan sebagai keduanya, dan itu adalah kesalahan! Argumen fungsi logaritmik harus positif, sehingga domain dari fungsi y = lnx adalah (0, + oo). Jadi: lim_ (xrarr + oo) lnx = + oo, seperti yang ditunjukkan oleh grafik. grafik {lnx [-10, 10, -5, 5]}

Berapa batas x mendekati tak terhingga dari (1 + a / x) ^ (bx)?

Dengan menggunakan logaritma dan Aturan l'Hopital, lim_ {x hingga infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab}. Dengan menggunakan substitusi t = a / x atau ekivalen x = a / t, (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} Dengan menggunakan properti logaritmik, = e ^ {ln [(1 + t) ^ {{ab} / t}]} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t)} / t} Dengan Peraturan l'Hopital, lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t to 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 Oleh karena itu, lim_ { x hingga infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} (Catatan: t to 0 as x to infty)