Berapa batas x mendekati tak terhingga dari (1 + a / x) ^ (bx)?

Dengan menggunakan logaritma dan Aturan l'Hopital, #lim_ {x hingga infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Dengan menggunakan substitusi # t = a / x # atau setara # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Dengan menggunakan properti logaritmik,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Oleh l'Hopital's Rule, #lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t to 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Karenanya, #lim_ {x hingga infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Catatan: #t hingga 0 # sebagai #x hingga infty #)