Bagaimana cara memperluas seri Maclaurin ini? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Menjawab:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Visual: Lihat grafik ini

Penjelasan:

Kami jelas tidak dapat mengevaluasi integral ini karena menggunakan teknik integrasi reguler yang telah kami pelajari. Namun, karena ini merupakan integral yang pasti, kita dapat menggunakan seri MacLaurin dan melakukan apa yang disebut istilah dengan integrasi istilah.

Kita harus menemukan seri MacLaurin. Karena kita tidak ingin menemukan turunan ke-9 dari fungsi itu, kita perlu mencoba dan memasangnya menjadi salah satu seri MacLaurin yang sudah kita ketahui.

Pertama, kami tidak suka # log #; kami ingin membuat itu # ln #. Untuk melakukan ini, kita cukup menggunakan perubahan rumus dasar:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Jadi kita punya:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Kenapa kita melakukan ini? Nah, sekarang perhatikan itu # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Mengapa ini begitu istimewa? Baik, # 1 / (1-x) # adalah salah satu seri MacLaurin kami yang umum digunakan:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = jumlah_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…untuk semua # x # di #(-1, 1#

Jadi, kita bisa menggunakan hubungan ini untuk keuntungan kita, dan ganti #ln (1-t) # dengan # int-1 / (1-t) dt #, yang memungkinkan kami untuk menggantinya # ln # istilah dengan seri MacLaurin. Menyatukan ini memberi:

# ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Mengevaluasi integral:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Membatalkan # t # istilah dalam penyebut:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Dan sekarang, kita mengambil integral yang pasti kita mulai dengan masalah:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Catatan: Amati bagaimana kita sekarang tidak perlu khawatir tentang pembagian dengan nol dalam masalah ini, yang merupakan masalah yang kita miliki di integrand asli karena # t # istilah dalam penyebut. Karena ini dibatalkan pada langkah sebelumnya, ini menunjukkan bahwa diskontinuitas dapat dilepas, yang berfungsi dengan baik bagi kami.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # dievaluasi dari #0# untuk # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Namun, pastikan Anda menyadari bahwa seri ini hanya baik pada intervalnya #(1, 1#, karena seri MacLaurin yang kami gunakan di atas hanya konvergen pada interval ini. Lihat grafik ini yang saya buat untuk mendapatkan gambaran yang lebih baik seperti apa ini.

Semoga itu membantu:)