Apa asimtot dan lubang, jika ada, dari f (x) = xsin (1 / x)?

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Yah, jelas ada lubang di # x = 0 #, sejak pembagian oleh #0# itu tidak mungkin.

Kita dapat membuat grafik fungsi:

grafik {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Tidak ada lubang atau asimtot lainnya.

Menjawab:

#f (x) # memiliki lubang (diskontinuitas yang dapat dilepas) di # x = 0 #.

Ini juga memiliki asimtot horisontal # y = 1 #.

Tidak memiliki asimptot vertikal atau miring.

Penjelasan:

Diberikan:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Saya akan menggunakan beberapa properti dari #sin (t) #yaitu:

• #ab (sin t) <= 1 "" # untuk semua nilai nyata # t #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # untuk semua nilai # t #.

Perhatikan dulu itu #f (x) # adalah fungsi genap:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Kami menemukan:

#ab (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Begitu:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Karena ini #0#, begitu juga #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Sejak itu juga #f (x) # bahkan:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Catat itu #f (0) # tidak terdefinisi, karena melibatkan pembagian oleh #0#, namun batas kiri dan kanan ada dan disepakati di # x = 0 #, sehingga memiliki lubang (removable discontinuity) di sana.

Kami juga menemukan:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Demikian pula:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Begitu #f (x) # memiliki asymptote horizontal # y = 1 #

grafik {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}