Bagaimana cara mengintegrasikan sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Menjawab:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Penjelasan:

Karena lebih mudah untuk berurusan dengan hanya satu # x # di bawah akar kuadrat, kami menyelesaikan kuadrat:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Sekarang kita perlu melakukan substitusi trigonometri. Saya akan menggunakan fungsi trigonometri hiperbolik (karena integral garis potong biasanya tidak terlalu bagus). Kami ingin menggunakan identitas berikut:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Untuk melakukan ini, kami inginkan # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Kita bisa menyelesaikannya # x # untuk mendapatkan substitusi apa yang kita butuhkan:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

Untuk mengintegrasikan sehubungan dengan # theta #, kita harus mengalikan dengan turunan dari # x # dengan hormat # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Sekarang kita bisa menggunakan identitas # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Sekarang kami menggunakan identitas:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Kita dapat melakukan substitusi u eksplisit untuk # 2cosh (2theta) #, tapi jawabannya cukup jelas #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Sekarang kita perlu membatalkan substitusi. Kita bisa menyelesaikannya # theta # mendapatkan:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Ini memberi:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Bagaimana cara mengintegrasikan int x ^ lnx?

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Kita mulai dengan substitusi u dengan u = ln (x). Kami kemudian membagi dengan turunan dari u untuk mengintegrasikan sehubungan dengan u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Sekarang kita perlu menyelesaikan untuk x dalam hal u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du Anda mungkin menebak bahwa ini tidak memiliki anti-turunan dasar, dan Anda akan benar. Namun kita dapat menggunakan formulir untuk fungsi kesalahan imajiner, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Untuk mendapatkan

Bagaimana cara mengintegrasikan (x ^ 2 9) ^ (3/2) dx?

Terpecahkan! x ^ 3/4 sqrt (x ^ 2-9) -45 / 8x sqrt (x ^ 2-9) + 243 / 8ln (x + sqrt (x ^ 2-9)) menggunakan rumus reduksi atau integrasi oleh bagian untuk diintegrasikan (detik) ^ 5

Bagaimana cara mengintegrasikan int e ^ x sinx cosx dx?

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Pertama kita dapat menggunakan identitas: 2sinthetacostheta = sin2x yang memberikan: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Sekarang kita bisa menggunakan integrasi per bagian. Rumusnya adalah: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx Saya akan membiarkan f (x) = sin ( 2x) dan g '(x) = e ^ x / 2. Menerapkan rumus, kita mendapatkan: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Sekarang kita dapat menerapkan integrasi dengan bagian sekali lagi , kali ini dengan f (x) = cos (2x) dan g '(x) = e ^ x: i