Ms. Fox bertanya kepada kelasnya apakah jumlah 4.2 dan akar kuadrat dari 2 rasional atau irasional? Patrick menjawab bahwa jumlah itu tidak masuk akal. Nyatakan apakah Patrick benar atau salah. Benarkan alasan Anda.

Menjawab:

Jumlah # 4.2 + sqrt2 # tidak rasional; itu mewarisi sifat ekspansi desimal tidak pernah berulang dari #sqrt 2 #.

Penjelasan:

Sebuah bilangan irasional adalah angka yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat. Jika angka tidak rasional, maka ekspansi desimalnya berlangsung selamanya tanpa pola, dan sebaliknya.

Kita sudah tahu itu #sqrt 2 # tidak rasional. Ekspansi desimalnya dimulai:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Nomor #4.2# aku s rasional; dapat dinyatakan sebagai #42/10.# Ketika kami menambahkan 4,2 ke ekspansi desimal dari #sqrt 2 #, kita mendapatkan:

#sqrt 2 + 4.2 = warna (putih) + 1.414213562373095 … #

#color (white) (sqrt 2) color (white) + color (white) (4.2 =) + 4.2 #

#color (white) (sqrt 2) color (white) + color (white) (4.2 =) bar (color (white) (+) 5.614213562373095 …) #

Mudah dilihat bahwa jumlah ini juga tidak berakhir atau memiliki pola yang berulang, sehingga juga tidak rasional.

Secara umum, jumlah bilangan rasional dan bilangan irasional akan selalu irasional; argumennya mirip dengan di atas.

Menjawab:

#warna (biru) ("benar") #

Penjelasan:

Jika kita mulai dengan mengatakan jumlah itu rasional: Semua bilangan rasional dapat ditulis sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat # a / bcolor (putih) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Produk dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat:

Perbedaan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat:

Begitu:

# 5a-21b # adalah bilangan bulat.

# 5b # adalah bilangan bulat.

Karenanya:

# (5a-21b) / (5b) # rasional.

Tapi kita tahu itu #sqrt (2) # irasional, jadi ini adalah kontradiksi dari asumsi kami bahwa jumlah itu rasional, oleh karena itu jumlah bilangan irasional dan bilangan rasional selalu tidak rasional.