Apa proyeksi (3i + 2j - 6k) ke (3i - 4j + 4k)?

Menjawab:

Proyeksi vektor adalah #< -69/41,92/41,-92/41 >#, proyeksi skalar adalah # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Penjelasan:

Diberikan # veca = (3i + 2j-6k) # dan # vecb = (3i-4j + 4k) #, kita dapat menemukan #proj_ (vecb) veca #, itu vektor proyeksi # veca # ke # vecb # menggunakan rumus berikut:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Artinya, produk titik dari dua vektor dibagi dengan besarnya # vecb #, dikalikan dengan # vecb # dibagi dengan besarnya. Kuantitas kedua adalah kuantitas vektor, karena kita membagi vektor dengan skalar. Perhatikan bahwa kami membagi # vecb # oleh besarnya untuk mendapatkan a vektor satuan (vektor dengan besarnya #1#). Anda mungkin memperhatikan bahwa kuantitas pertama adalah skalar, seperti yang kita tahu bahwa ketika kita mengambil produk titik dari dua vektor, hasilnya adalah skalar.

Oleh karena itu, skalar proyeksi #Sebuah# ke # b # aku s #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, juga ditulis # | proj_ (vecb) veca | #.

Kita dapat mulai dengan mengambil produk titik dari dua vektor, yang dapat ditulis sebagai # veca = <3,2, -6> # dan # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Maka kita dapat menemukan besarnya # vecb # dengan mengambil akar kuadrat dari jumlah kuadrat dari masing-masing komponen.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

Dan sekarang kami memiliki semua yang kami butuhkan untuk menemukan proyeksi vektor # veca # ke # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Anda dapat mendistribusikan koefisien ke setiap komponen vektor dan menulis sebagai:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Proyeksi skalar dari # veca # ke # vecb # hanya bagian pertama dari rumus, di mana #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Oleh karena itu, proyeksi skalar adalah # -23 / sqrt (41) #, yang tidak menyederhanakan lebih jauh, selain untuk merasionalisasi penyebut jika diinginkan, memberi # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Semoga itu bisa membantu!